Exercise 5.1: Gaussian ACF and Gaussian Low-Pass

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Am Eingang eines Tiefpassfilters mit dem Frequenzgang H(f) liegt ein gaußverteiltes mittelwertfreies Rauschsignal x(t) mit folgender Autokorrelationsfunktion (AKF) an:

$${\it \varphi_{x}(\tau)} = \sigma_x^2 \cdot {\rm e}^{- \pi (\tau /{\rm \nabla} \tau_x)^2}.$$

Diese AKF ist im nebenstehenden Bild oben dargestellt.

Das Filter sei gaußförmig mit der Gleichsignalverstärkung H₀ und der äquivalenten Bandbreite Δf. Für den Frequenzgang kann somit geschrieben werden:

$$H(f) = H_{\rm 0} \cdot{\rm e}^{- \pi (f/ {\rm \Delta} f)^2}.$$

Im Verlaufe dieser Aufgabe sollen die beiden Filterparameter H₀ und Δf so dimensioniert werden, dass das Ausgangssignal y(t) eine AKF entsprechend der unteren Skizze aufweist.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.4 und Kapitel 5.1. Berücksichtigen Sie die folgende Fourierkorrespondenz:

$${\rm e}^{- \pi (f/{\rm \Delta} f)^2} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!\circ \hspace{0.15cm}{\rm \Delta} f \cdot {\rm e}^{- \pi ({\rm \Delta} f \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} t)^2}.$$

Fragebogen

1

Wie groß ist der Effektivwert des Filtereingangssignals?

$\sigma_x$ = V

2

Bestimmen Sie aus der skizzierten AKF auch die äquivalente AKF-Dauer des Signals x(t). Wie kann diese allgemein ermittelt werden?

$\nabla\tau_x$ = $\mu s$

3

Wie lautet das Leistungsdichtespektrum Φ_x(f) des Eingangsignals? Wie groß ist der LDS-Wert bei f = 0?

$\phi_x(f = 0)$ = $\cdot 10^{-8}\ V^2/Hz$

4

Berechnen Sie das LDS Φ_y(f) am Filterausgang allgemein als Funktion von σ_x, ∇τ_x, H₀ und Δf. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	Das LDS Φy(f) ist ebenfalls gaußförmig.
	Je kleiner Δf ist, um so breiter ist Φy(f).
	H0 beeinflusst nur die Höhe, aber nicht die Breite von Φy(f).

5

Wie groß muss die äquivalente Filterbandbreite Δf gewählt werden, damit für die äquivalente AKF-Dauer ∇τ_y = 3 μs gilt?

$\Delta f$ = $MHz$

6

Wie groß muss man den Gleichsignalübertragungsfaktor H₀ wählen, damit die Bedingung σ_y = σ_x erfüllt wird?

$H_0$ =

Musterlösung

Solution

1.  Die Varianz σ_x² ist gleich dem AKF-Wert bei τ = 0, also 0.04 V². Daraus folgt σ_x = 0.2 V.

2.  Die äquivalente AKF-Dauer kann über das flächengleiche Rechteck ermittelt werden und ergibt sich entsprechend der Skizze zu ∇τ_x = 1 μs.

3.  Das LDS ist die Fouriertransformierte der AKF. Mit der gegebenen Fourierkorrespondenz gilt:

$${\it \Phi_{x}(f)} = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot {\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}f)^2} .$$

Bei der Frequenz f = 0 gilt:

$${\it \Phi_{x}(f {\rm = 0)}} = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x = \rm 0.04 \hspace{0.1cm} V^2 \cdot 10^{-6} \hspace{0.1cm} s \hspace{0.15cm} \underline{= 4 \cdot 10^{-8} \hspace{0.1cm} V^2 / Hz}.$$

4.  Allgemein gilt mit Φ_y(f) = Φ_x(f) · |H(f)|²:

$${\it \Phi_{y}(f)} = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot {\rm e}^{- \pi ({\rm \nabla} \tau_x \cdot f)^2}\cdot H_{\rm 0}^2 \cdot{\rm e}^{- 2 \pi (f/ {\rm \Delta} f)^2} .$$

Durch Zusammenfassen der beiden Exponentialfunktionen erhält man:

$${\it \Phi_{y}(f)} = \sigma_x^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_x \cdot H_0^2 \cdot {\rm e}^{- \pi\cdot ({\rm \nabla} \tau_x^2 + 2/(\Delta f^2) ) \hspace{0.1cm}\cdot f^2}.$$

Auch Φ_y(f) ist gaußförmig und nie breiter als Φ_x(f).

Für Δf → ∞ gilt die Näherung Φ_y(f) ≈ Φ_x(f). Mit kleiner werdendem Δf wird Φ_y(f) immer schmäler (also ist die zweite Aussage falsch). H₀ beeinflusst tatsächlich nur die LDS-Höhe und nicht die Breite des LDS. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 3.

5.  Analog zum Aufgabenteil (1) kann für das LDS des Ausgangssignals y(t) geschrieben werden:

$${\it \Phi_{y}(f)} = \sigma_y^2 \cdot {\rm \nabla} \tau_y \cdot {\rm e}^{- \pi \cdot {\rm \nabla} \tau_y^2 \cdot f^2 }.$$

Durch Vergleich mit dem Ergebnis aus (4) ergibt sich:

$${{\rm \nabla} \tau_y^2} = {{\rm \nabla} \tau_x^2} + \frac {2}{{\rm \Delta} f^2}.$$

Löst man die Gleichung nach Δf auf und berücksichtigt die Werte ∇τ_x = 1 μs,

∇τ_y = 3 μs, so folgt:

$${\rm \Delta} f = \sqrt{\frac{2}{{\rm \nabla} \tau_y^2 - {\rm \nabla} \tau_x^2}} = \sqrt{\frac{2}{9 - 1}} \hspace{0.1cm}\rm MHz \hspace{0.15cm} \underline{= 0.5\hspace{0.1cm} MHz} .$$

6.  Die Bedingung σ_y = σ_x ist gleichbedeutend mit φ_y(τ = 0) = φ_x(τ = 0). Da zudem ∇τ_y = 3 · ∇τ_x vorgegeben ist, muss deshalb auch Φ_y(f = 0) = 3 · Φ_x(f = 0) gelten. Daraus erhält man:

$$H_{\rm 0} = \sqrt{\frac{\Phi_y (f = 0)}{\Phi_x (f = 0)}} = \sqrt {3}\hspace{0.15cm} \underline{=1.732}.$$