Exercise 5.8Z: Matched Filter for Rectangular PSD
From LNTwww
- Die bei einem System wirksame Störleistungsdichte kann als bereichsweise konstant angenommen werden:
- $$\it{\Phi} _n \left( f \right) = \left\{ \begin{array}{l} N_0 /2 \\ N_1 /2 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{20}c} \rm{f\ddot{u}r} \\ \rm{f\ddot{u}r} \\\end{array}\quad \begin{array}{*{20}c} {\left| f \right| \le f_{\rm N} ,} \\ {\left| f \right| > f_{\rm N} .} \\\end{array}$$
- Hierbei sei die Störleistungsdichte N1 im äußeren Bereich <nobr>(> fN)</nobr> stets sehr viel kleiner als N0. Verwenden Sie zum Beispiel die folgenden Werte:
- $$N_0 = 2 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V}}^{\rm{2}} /{\rm{Hz}},\quad N_1 = 2 \cdot 10^{ - 8} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}/ {\rm{Hz}}.$$
- Ein solches Störsignal n(t) tritt beispielsweise dann auf, wenn die dominante Störquelle nur Anteile unterhalb der Grenzfrequenz fN beinhaltet. Aufgrund des unvermeidbaren thermischen Rauschens ist jedoch auch oberhalb von |f| = fN die Störleistungsdichte Φn(f) ≠ 0.
- Das Spektrum G(f) des Nutzsignals sei entsprechend der obigen Skizze ebenfalls rechteckförmig. Der zugehörige Nutzimpuls g(t) hat deshalb mit Δf = 2 · fG folgenden Verlauf:
- $$g(t) = G_0 \cdot \Delta f \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} \left( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta f \cdot t} \right).$$
- Verwenden Sie für numerische Berechnungen stets die Zahlenwerte
- $$G_0 = 10^{ - 4} \;{\rm{V/Hz}}{\rm{, }}\quad \Delta f = 10\;{\rm{kHz}}.$$
- Das Empfangsfilter sei optimal an das Nutzspektrum G(f) und das Störleistungsdichtespektrums Φn(f) angepasst. Das heißt, es gelte HE(f) = HMF(f). Der Detektionszeitpunkt sei vereinfachend <nobr>TD = 0</nobr> (akausale Systembeschreibung).
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Für alle Frequenzen |f| < fG, bei denen das Nutzsignal Spektralanteile besitzt (G(f) ≠ 0), ist das Störleistungsdichtespektrum Φn(f) = N0 /2. Damit lautet der Frequenzgang des Matched-Filters, TD = 0 vorausgesetzt:
- $$H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G(f).$$
- Der optimale Frequenzgang HMF(f) ist in diesem Fall ebenso wie G(f) rechteckförmig mit Breite Δf. Für den Nutzanteil des MF-Ausgangssignals gilt:
- $$d_{\rm S}(t)\quad \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \quad G(f) \cdot H_{\rm MF} (f).$$
- Das Produkt zweier Rechteckfunktionen gleicher Breite ergibt wiederum diese Rechteckfunktion. Daraus folgt weiter, dass der Ausgangsimpuls des Matched-Filters ebenfalls si-förmig verläuft. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 3.
- 2. Bei weißem Rauschen erhält man:
- $$\rho _d = \frac{1}{N_0 /2}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {G(f)} \right|^2 \, {\rm{d}}f.}$$
- Das Integral liefert den Wert G02 · Δf. Daraus folgt:
- $$\rho _d = \frac{G_0 ^2 \cdot \Delta f }{N_0 /2} = \frac{ 10^{ - 8}\,(\rm V/Hz)^2 \;\cdot10^4 \;{\rm{Hz}} }{10^{ - 6}\,\rm V^2/Hz} = 10^2 $$
- $$\Rightarrow \quad 10\lg \rho _d \hspace{0.15cm}\underline { = 20\;{\rm{dB}}}.$$
- 3. Allgemein gilt für das SNR bei farbiger Störung:
- $$\rho _d = 2 \cdot \int_0^\infty {\frac{\left| {G(f)} \right|^2 }{\it{\Phi} _n (f)}} \, {\rm{d}}f.$$
- Wie aus der nebenstehenden qualitativen Skizze hervorgeht, ist der Integrand bei den vorgegebenen Frequenzgängen stückweise konstant. Mit fG = 5 kHz und fN = fG/2 <nobr>(= 2.5 kHz)</nobr> erhält man somit:
- $$\rho _d = 2 \cdot 2.5\;{\rm{kHz}}\left( { \frac{10^{ - 2}}{\rm{Hz}} + \frac{1}{{{\rm{Hz}}}} } \right) = 5.05 \cdot 10^3$$
- $$ \Rightarrow \quad 10\cdot\lg \rho _d \hspace{0.15cm}\underline {= 37.03\;{\rm{dB}}}.$$
- Interpretation:
Der Matched–Filter–Frequenzgang HMF(f) hat genau den selben Verlauf wie der oben skizzierte Integrand. Wird die Konstante KMF (willkürlich) so gewählt, dass im Bereich fN ≤ f ≤ fG der MF–Frequenzgang den Wert 1 besitzt, so gilt für tiefe Frequenzen (|f| < fN): HMF(f) = 0.01. Das bedeutet: Das Matched–Filter bevorzugt diejenigen Frequenzen, die durch die Störung Φn(f) nur wenig beeinträchtigt werden.
- Würde man stattdessen ein Filter H(f) verwenden, das alle Frequenzen des Nutzsignals bis einschließlich fG gleich bewertet (violetter Kurvenverlauf in der unteren Skizze), so ergäben sich folgende Verhältnisse:
- $$d_{\rm S}( {T_{\rm D} } ) = G_0 \cdot 2 \cdot f_{\rm G} = 1\;{\rm{V}},$$
- $$\sigma _d ^2 = 10^{ - 6} \frac{{{\rm{V}}^{\rm{2}} }}{{{\rm{Hz}}}} \cdot f_{\rm G} + 10^{ - 8} \frac{{{\rm{V}}^{\rm{2}} }}{{{\rm{Hz}}}} \cdot ( {f_{\rm G} - f_{\rm N} } ) = 2.5 \cdot 1.01 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}$$
- $$ \Rightarrow \rho _d = \frac {d_{\rm S}( {T_{\rm D} } )^2}{\sigma _d ^2} = \frac{1 \;{\rm{V}}^{\rm{2}}}{2.525 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V}}^{\rm{2}}} = 396 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \, \rho _d = 25.98 \, {\rm dB}.$$
- Das Signal–zu–Rauschverhältnis ist somit um ca. 11 dB schlechter, als wenn man das Matched–Filter für farbige Störungen verwendet.