Exercise 2.4Z: Characteristics Measurement

Von einem nichtlinearen System ist bekannt, dass die Kennlinie durch folgende Gleichung dargestellt werden kann:

$$y(t) = c_1 \cdot x(t) + c_2 \cdot x^2(t).$$

Da die Verzerrungen nichtlinear sind, ist kein Frequenzgang H(f) angebbar.

Zur Bestimmung des dimensionslosen Koeffizienten c₁ sowie des quadratischen Koeffizienten c₂ werden nun verschiedene Rechteckimpulse x(t) – gekennzeichnet durch ihre Amplituden A_x und Breiten T_x – an den Eingang gelegt und jeweils die Impulsamplitude A_y am Ausgang gemessen. Nach drei Versuchen ergeben sich folgende Werte:

A_x = 1 V, T_x = 8 ms: A_y = 0.55 V,

A_x = 2 V, T_x = 4 ms: A_y = 1.20 V,

A_x = 3 V, T_x = 2 ms: A_y = 1.95 V.

Bei den Teilaufgaben 3) und 4) sei das Eingangssignal x(t) eine harmonische Schwingung, da nur für eine solche ein Klirrfaktor angebbar ist. Dagegen wird für die Teilaufgabe e) ein Dreieckimpuls

$$x(t) = A_x \cdot \left[ 1 -\frac{|t|}{T_x}\right] $$

mit der Amplitude A_x = 3 V und der einseitigen Impulsdauer T_x = 2 ms betrachtet. Im Fragenkatalog werden folgende Abkürzungen benutzt:

$$y_1(t) = c_1 \cdot x(t), \hspace{0.5cm} y_2(t) = c_2 \cdot x^2(t).$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 2.2.

Fragebogen

	Der Ausgangsimpuls y(t) ist dreieckförmig.
	Die Amplituden am Eingang und Ausgang sind gleich (A_y = A_x).
	Die Impulsdauer wird durch das System nicht verändert (T_y = T_x).

$c_1$ =

$c_2$ =

$1/v$

$A_x = 1 V:\ \ K$ =

%

$A_x = 3 V:\ \ K$ =

%

$y(t = 0)$ =

$V$

$y(t = T_x/2)$ =

$V$

Musterlösung

Solution

1. Ist der Eingangsimpuls x(t) rechteckförmig, so ist auch x²(t) ein Rechteck mit Höhe A_x² im Bereich von 0 bis T_x und außerhalb 0. Auch das gesamte Ausgangssignal y(t) ist somit rechteckförmig mit der Amplitude

$$A_y= c_1 \cdot A_x + c_2 \cdot A_x^2 .$$

Für die Impulsdauer gilt T_y = T_x. Richtig ist also nur der letzte Lösungsvorschlag.

2. Mit den beiden ersten Parametersätzen kann folgendes lineares Gleichungssystem angegeben werden:

$$c_1 \cdot 1\,{\rm V} + c_2 \cdot (1\,{\rm V})^2 = 0.55\,{\rm V},\\ c_1 \cdot 2\,{\rm V} + c_2 \cdot (2\,{\rm V})^2 = 1.20\,{\rm V}.\hspace{0.05cm}$$

Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit –2 und Addition der beiden Gleichungen erhält man:

$$c_2 \cdot 2\,{\rm V}^2 = 0.1\,{\rm V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.05\,{1/\rm V}}.$$

Der Linearkoeffizient ist somit c₁ = 0.5. Der dritte Parametersatz kann genutzt werden, um das Ergebnis zu kontrollieren:

$$c_1 \cdot 3\,{\rm V} + c_2 \cdot (3\,{\rm V})^2 = 0.5 \cdot 3\,{\rm V}+ 0.05 \frac{1}{\rm V}\cdot 9\,{\rm V}^2 = 1.95\,{\rm V}.$$

3. Die Angabe eines Klirrfaktors bedingt die Verwendung einer harmonischen Schwingung am Eingang. Ist X₊(f) = 1V · δ(f – f₀), so lautet das Spektrum des analytischen Signals am Ausgang:

$$ Y_{+}(f)=\frac{c_2}{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f) + c_1\cdot A_x \cdot \delta(f- f_0)+\frac{c_2}{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f- 2 f_0). $$

Die Diracfunktion bei f = 0 folgt aus der trigonometrischen Umformung cos²(α) = 1/2 + 1/2 · cos(α). Mit A₁ = c₁ · A_x = 0.5 V und A₂ = (c₂/2) · A_x² = 0.025 V ergibt sich somit für den Klirrfaktor:

$$K= \frac{A_2}{A_1}= \frac{c_2/2 \cdot A_x}{c_1 }= \frac{0.025}{0.5} \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \%}.$$

4. Entsprechend der Musterlösung zu c) ist K proportional zu A_x. Deshalb erhält man nun K = 15%.

5. Nun lautet das Ausgangssignal:

$$y(t)= c_1\cdot A_x \cdot \left( 1 - \frac{|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}{T_x}\right) +\hspace{0.1cm} {c_2}\cdot A_x^2 \cdot \left( 1 - \frac{|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}{T_x}\right)^2.$$

Zum Zeitpunkt t = 0 bzw. t = T_x/2 treten folgende Werte auf:

$$y(t=0) = c_1\cdot A_x + {c_2}\cdot A_x^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.95\,{\rm V}}\\ y(t=T_x/2) = c_1\cdot A_x \cdot \frac{1}{2} + \hspace{0.1cm}{c_2}\cdot A_x^2 \cdot \frac{1}{4}= 0.75\,{\rm V}+ 0.1125\,{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8625\,{\rm V}}.$$