Exercise 2.5: Distortion and Equalization

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Betrachtet wird ein Nachrichtensystem mit Eingang x(t) und Ausgang y(t), das durch den trapezförmigen Frequenzgang H(f) gemäß der oberen Grafik vollständig beschrieben wird. Mit dem Rolloff–Faktor r = 0.5 sowie der äquivalenten Bandbreite Δf = 16 kHz lautet die dazugehörige, über die Fourierrücktransformation berechenbare Impulsantwort:

$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \Delta f \cdot t ) .$$

Als Eingangssignale stehen zur Verfügung:

• Die Summe zweier harmonischer Schwingungen:

$$x_1(t) = {1\, \rm V} \cdot \cos(\omega_1 \cdot t) + {1\, \rm V} \cdot \sin(\omega_2 \cdot t).$$

Hierbei gelte für ω₁ = 2π · 2000 1/s und ω₂ > ω₁.

• Ein periodisches Dreiecksignal:

$$x_2(t) = \frac{8\, \rm V}{\pi^2} \cdot \left[\cos(\omega_0 t) + \frac{1}{9} \cdot \cos(3\omega_0 t) + \frac{1}{25} \cdot \cos(5\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}...\right].$$

Es ist anzumerken, dass die Grundfrequenz f₀ = 3 kHz bzw. 2 kHz beträgt. Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Signalwert in beiden Fällen 1 V.

• Ein Rechteckimpuls x₃(t) mit Amplitude A = 1 V und Dauer T = 1 ms. Da dessen Spektrum X₃(f) bis ins Unendliche reicht, führt H(f) hier immer zu linearen Verzerrungen.

Ab Teilaufgabe 6) soll versucht werden, durch einen nachgeschalteten Entzerrer mit

• Frequenzgang H_E(f),

• Eingangssignal y(t), und

• Ausgangssignal z(t)

die eventuell von H(f) erzeugten Verzerrungen zu eliminieren. Der im Fragenkatalog verwendete Begriff „Gesamtverzerrung” bezieht sich auf das Eingangssignal x(t) und das Ausgangssignal z(t).

Hinweis: Diese Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 2.3.

Fragebogen

1

Welche Verzerrungsarten können bei diesem System ausgeschlossen werden?

	Nichtlineare Verzerrungen.
	Dämpfungsverzerrungen.
	Phasenverzerrungen.

2

Welche Eigenschaften zeigt das System beim Testsignal x₁(t) mit f₂ = 4 kHz?

	Es wirkt wie ein ideales System.
	Es wirkt wie ein verzerrungsfreies System.
	Man erkennt, dass ein verzerrendes System vorliegt.

3

Welche Eigenschaften zeigt das System beim Testsignal x₁(t) mit f₂ = 10 kHz?

	Es wirkt wie ein ideales System.
	Es wirkt wie ein verzerrungsfreies System.
	Man erkennt, dass ein verzerrendes System vorliegt.

4

Wie groß ist die die Maximalabweichung ε_max = |y₂(t) – x₂(t)| beim Signal x₂(t) mit f₀ = 3 kHz? An welcher Stelle t₀ tritt diese Abweichung auf?

$f_0 = 3 kHz:\ \ \epsilon_\text{max}$ = $V$

$t_0$ = $ms$

5

Wie groß ist die maximale Abweichung mit f₀ = 2 kHz?

$f_0 = 2 kHz:\ \ \epsilon_\text{max}$ = $V$

6

Welchen Verlauf sollte der Entzerrer H_E(f) besitzen, um alle Verzerrungen von H(f) bestmöglich zu kompensieren. Welcher Wert ergibt sich bei f = 10 kHz?

$|H_E(f = 10 kHz)|$ =

7

Bei welchen der nachfolgenden Signale ist eine vollständige Entzerrung möglich? Unter vollständiger Entzerrung soll dabei z(t) = x(t) verstanden werden.

	Beim Signal x1(t) mit f2 = 10 kHz.
	Beim Signal x2(t).
	Beim Signal x3(t).

Musterlösung

Solution

1.  Durch die Angabe eines Frequenzgangs wird bereits implizit ein lineares System vorausgesetzt, so dass nichtlineare Verzerrungen nicht auftreten können. Da H(f) rein reell ist, können Phasenverzerrungen ebenfalls ausgeschlossen werden  ⇒  Lösungsvorschläge 1 und 3.

2.  Das Ausgangssignal ist y₁(t) = x₁(t). Somit ist das System nicht nur verzerrungsfrei, sondern kann für diese Anwendung auch als ideal bezeichnet werden. Richtig sind also die Alternativen 1 und 2.

3.  In diesem Fall erhält man das Ausgangssignal:

$$y_1(t)= 1\,{\rm V}\cdot \cos(2 \pi \cdot f_1 \cdot t) + \frac{1}{4}\cdot 1\,{\rm V}\cdot \sin(2 \pi \cdot f_2 \cdot t).$$

Während der Anteil bei f₁ unverändert übertragen wird, ist der Sinusanteil mit f₂ auf ein Viertel gedämpft. Also liegen Dämpfungsverzerrungen vor  ⇒  Antwort 3.

4.  Das Ausgangssignal y₂(t) hat folgende Form, wenn man die Grundfrequenz f₀ = 3 kHz berücksichtigt:

$$y_2(t)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( \cos(\omega_0 t) + \frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9} \cdot \cos(3\omega_0 t)\right) .$$

Der Faktor 3/8 beschreibt H(f = 9 kHz). Alle weiteren Spektralanteile bei 15 kHz, 21 kHz usw. werden vom System unterdrückt.

Die stärksten Abweichungen zwischen x₂(t) und y₂(t) wird es bei den Dreieckspitzen geben, da sich hier die fehlenden hohen Frequenzen am stärksten auswirken. Zum Beispiel erhält man für t = t₀ = 0:

$$y_2(t=0)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( 1 + \frac{3}{72}\right)= 0.844\,{\rm V}$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm max} = |y_2(t=0)- x_2(t=0)| \hspace{0.15cm}\underline{= 0.156\,{\rm V}}.$$

5.  Mit der Grundfrequenz f₀ = 2 kHz, H(3f₀) = 0.75, H(5f₀) = 0.25 und H(7f₀) = 0 ergibt sich:

$$y_2(t=0)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( 1 + \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{4} \cdot\frac{1}{25}\right)= 0.886\,{\rm V}\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\varepsilon_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.114\,{\rm V}}.$$

6.  Im Bereich bis 4 kHz ist H_E(f) = H(f) = 1 zu sehen. Dagegen gilt im Bereich von 4 kHz bis 12 kHz:

$$H_{\rm E}(f)= \frac{1}{H(f)} = \frac{1}{1.5 \cdot [1 - f/(12\,{\rm kHz})]} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} H_{\rm E}(f = 10\,{\rm kHz})\hspace{0.15cm}\underline{= 4} .$$

Der Nennerausdruck beschreibt hierbei die Geradengleichung des Flankenabfalls.

7.  Sowohl x₂(t) als auch x₃(t) beinhalten Spektralanteile bei Frequenzen größer als 12 kHz. Wurden diese durch die Bandbegrenzung von H(f) abgeschnitten, so können sie durch den Entzerrer nicht mehr rekonstruiert werden. Das heißt, dass nur das Signal x₁(t) durch H_E(f) wieder hergestellt werden kann:

$$z_1(t)= 1 \cdot 1\,{\rm V}\cdot \cos(2 \pi \cdot f_1 \cdot t) + 4 \cdot \frac{1}{4}\cdot 1\,{\rm V}\cdot \sin(2 \pi \cdot f_2 \cdot t).$$

Die jeweils ersten Faktoren geben jeweils die Verstärkung von H_E(f) an  ⇒  Antwort 1.