Exercise 1.2: Entropy of Ternary Sources

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Die Entropie einer wertdiskreten gedächtnislosen Nachrichtenquelle mit M möglichen Symbolen lautet:

$$H = \sum_{\mu = 1}^M p_{\mu} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac{1}{p_\mu}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {\rm Pseudoeinheit\hspace{-0.15cm}: \hspace{0.15cm}bit}\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnen die p_μ die Auftrittswahrscheinlichkeiten der einzelnen Symbole bzw. Ereignisse. Im vorliegenden Beispiel werden die Ereignisse mit R(ot), G(rün) und S(chwarz) bezeichnet.

Bei einer binären Quelle mit den Auftrittswahrscheinlichkeiten p und 1 – p kann hierfür geschrieben werden:

$$H = H_{\rm bin}(p) = p \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac{1}{p}+ (1-p) \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac{1}{1-p}\hspace{0.05cm}.$$

Die Entropie einer mehrstufigen Quelle lässt sich häufig mit dieser „binären Entropiefunktion” H_bin(p) – ebenfalls mit der Pseudoeinheit „bit” – ausdrücken.

Betrachtet werden in dieser Aufgabe zwei Ternärquellen mit den Symbolwahrscheinlichkeiten gemäß der obigen Grafik:

• die Quelle Q₁ mit p_G = 1/2, p_S = 1/3, p_R = 1/6,

• die Quelle Q₂ mit p_G = p, p_R = p_S = (1 – p)/2.

Die Ternärquelle Q₂ lässt sich auch auf Roulette anwenden, wenn ein Spieler nur auf die Felder Rot, Schwarz und Grün (die „Null”) setzt. Dieser Spieltyp wird im Fragebogen mit „Roulette 1” bezeichnet.

Dagegen weist „Roulette 2” darauf hin, dass der Spieler auf einzelne Zahlen (0, ... , 36) setzt.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 1.1.

Fragebogen

1

Welche Entropie H besitzt die Quelle Q₁?

$Q_1:\ \ H$ = $bit$

2

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend, wenn man R, G und S durch die Zahlenwerte –1, 0 und +1 darstellt?

	Es ergibt sich eine kleinere Entropie.
	Die Entropie bleibt gleich.
	Es ergibt sich eine größere Entropie.

3

Bestimmen Sie die Entropie der Quelle Q₂ unter Verwendung der binären Entropiefunktion H_bin(p). Welcher Wert ergibt sich für p = 0.5?

$Q_2;\ p = 0.5:\ H$ = $bit$

4

Für welchen p–Wert ergibt sich die maximale Entropie?

$Q_2,\ H → H_\text{max}:\ p$ =

5

Welche Entropie hat die Nachrichtenquelle „Roulette” hinsichtlich der Ereignisse Rot, Schwarz und Grün (die „Null”)?

$Roulette\ 1:\ H$ = $bit$

6

Welche Entropie weist „Roulette” hinsichtlich der Zahlen 0, ... , 36 auf?

$Roulette\ 2:\ H$ = $bit$

Musterlösung

Solution

2.  Mit den Auftrittswahrscheinlichkeiten 1/2, 1/3 und 1/6 erhält man folgenden Entropiewert:

$$H \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} 1/2 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(2) +1/3 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(3) +1/6 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(6) =\\ \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} (1/2 + 1/6)\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(2) + (1/3 + 1/6)\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(3) =\\ \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} 2/3 \cdot 1\,{\rm bit} + 1/2 \cdot 1.585\,{\rm bit}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.46 \, {\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$

2.  Richtig ist Lösungsvorschlag 2. Die Entropie hängt nur von den Auftrittswahrscheinlichkeiten ab. Es ist dabei egal, welche Zahlenwerte oder physikalische Größen man den einzelnen Symbolen zuordnet. Anders ist es bei Mittelwerten oder der AKF–Berechnung. Werden nur Symbole angegeben, so kann man hierfür keine Momente angeben. Außerdem hängen die Mittelwerte, Autokorrelation, usw. davon ab, ob man die Zuordnung bipolar (–1, 0, +1) oder unipolar (zum Beispiel: 0, 1, 2) vereinbart.

3.  Die Entropie der Quelle Q₂ lässt sich wie folgt ausdrücken:

$$H \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} p \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p}+ 2 \cdot \frac{1-p}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {2}{1-p}=\\ \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} p \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p}+ (1-p) \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{1-p} + (1-p)\cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(2)= H_{\rm bin}(p) + 1-p \hspace{0.05cm}.$$

Für p = 0.5   ⇒   H_bin(p) = 1 ergibt sich H = 1.5 bit.

4.  Die maximale Entropie einer gedächtnislosen Quelle mit dem Symbolumfang M ergibt sich, wenn alle M Symbole gleichwahrscheinlich sind. Für den Sonderfall M = 3 folgt daraus:

$$p_{\rm R} + p_{\rm G} + p_{\rm S} = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline {p = 1/3}\hspace{0.05cm}.$$

Damit erhält man mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (3) die folgende Entropie:

$$H \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} H_{\rm bin}(1/3) + 1-1/3 = 1/3 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(3) + 2/3 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(3/2) + 2/3 =\\ \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} 1/3 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(3) + 2/3 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(3) - 2/3 \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(2)+ 2/3 = {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(3) = {1.585 \, {\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$

5.  „Roulette 1” ist informationstheoretisch gleich der Konfiguration Q₂ mit p = 1/37:

$$p_{\rm G} = p = \frac{1}{37}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} p_{\rm R} = p_{\rm S} = \frac{1-p}{2} = \frac{18}{37} \hspace{0.05cm}.$$

Damit erhält man mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (3):

$$H \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} H_{\rm bin}(1/37) + \frac{36}{37} = \frac{1}{37} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(37) + \frac{36}{37} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(37) - \frac{36}{37} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}36 + \frac{36}{37} =\\ \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm} {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(37) + \frac{36}{37} \cdot ( 1- {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(36)) = 5.209 - 4.057 \hspace{0.15cm} \underline { = 1.152 \, {\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$

6.   Setzt man bei Roulette auf einzelne Zahlen ⇒ Konfiguration „Roulette 2”, so sind alle Zahlen von 0 bis 36 gleichwahrscheinlich und man erhält:

$$H = {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(37) \hspace{0.15cm} \underline { = 5.209 \, {\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$