Exercise 3.1Z: Hilbert Transform

Der Zusammenhang zwischen dem Real– und dem Imginärteil der Übertragungsfunktion realisierbarer kausaler Systeme wird durch die Hilbert–Transformation beschrieben. Hierbei gilt:

$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} = - \frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{ +\infty} { \frac{{\rm Re} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm},$$

$${\rm Re} \left\{ H(f) \right \} = \frac{1}{\pi }\int\limits_{-\infty}^{ +\infty} { \frac{{\rm Im} \left\{ H(\nu) \right \}}{f - \nu}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu \hspace{0.05cm}.$$

Als gemeinsames Kurzzeichen verwendet man für diese beiden Integraltransformationen:

$${\rm Im} \left\{ H(f) \right \} \quad \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\hspace{-0.05cm}\rightarrow\quad {\rm Re} \left\{ H(f) \right \}\hspace{0.05cm}.$$

Da sich die Hin– und die Rücktransformation lediglich durch das Vorzeichen unterscheiden, genügt eine Gleichung. Dabei gilt:

Zur Berechnung des durch den Pfeil markierten Operanden wird das positive Vorzeichen verwendet.

Dagegen ist zur Berechnung des durch den Kreis markierten Operanden das Minuszeichen zu berücksichtigen.

Die Hilbert–Transformation gilt viel allgemeiner als nur für den hier beschriebenen Anwendungsfall. Zum Beispiel wird sie auch verwendet, um zu einem reellen Bandpass–Signal das dazugehörige (komplexe) analytische Signal zu ermitteln.

Bei dieser Aufgabe soll zu den in der Grafik gegebenen kausalen Impulsantworten h(t) die zugehörigen Frequenzgänge H(f) entsprechend der Fourierrücktransformation ermittelt werden. Zerlegt man H(f) jeweils in Real– und Imaginärteil, so können daraus Hilbert–Korrespondenzen abgeleitet werden.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 3.1.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

1. Die Fourier–Transformierte von h₁(t) = α · δ(t) lautet:

$$H_1(f) = \alpha \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Re} \left\{ H_1(f) \right \} = \alpha , \hspace{0.2cm}{\rm Im} \left\{ H_1(f) \right \} = 0\hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist somit der zweite Lösungsvorschlag.

2. Mit dem Verschiebungssatz und dem Satz von Euler erhält man für die Impulsantwort h₂(t) den Frequenzgang:

$$H_2(f) ={\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f \tau} = \cos (2\pi f \tau) - {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi f \tau)\hspace{0.05cm}.$$

Daraus ergibt sich die Hilbert–Korrespondenz

$$\cos (2\pi f \tau) \hspace{0.3cm} \leftarrow\hspace{-0.05cm}\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.3cm} -\sin (2\pi f \tau)\hspace{0.7cm}{\rm oder}\hspace{0.7cm} \cos (2\pi f \tau) \hspace{0.3cm} \bullet\hspace{-0.05cm}\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!-\!\hspace{-0.1cm}\rightarrow\hspace{0.3cm} \sin (2\pi f \tau) \hspace{0.05cm}.$$

entsprechend dem letzten Lösungsvorschlag.

3. Für die rechteckförmige Impulsantwort h₃(t) mit der Breite T und der Höhe 1/T erhält man die Spektralfunktion entsprechend dem ersten Fourierintegral:

$$H_3(f) = \int\limits_{-\infty}^{ +\infty} { h_3(t) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm} = \frac{1}{T} \cdot \int\limits_{0}^{ T} { {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f t}}\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \\ = \left [\frac{1}{-{\rm j}\cdot 2\pi f T} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f\hspace{0.05cm} t} \right ]_{0}^{T} = \frac{1-{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm} 2\pi f\hspace{0.05cm} T}}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} \hspace{0.05cm}.$$

Mit dem Eulerschen Satz kann hierfür auch geschrieben werden:

$$H_3(f) = \frac{1-\cos (2\pi f T) + {\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sin (2\pi f T)}{{\rm j}\cdot 2\pi f T} =\\ = \frac{\sin (2\pi f T)}{ 2\pi f T} - {\rm j}\cdot \frac{1 - \cos (2\pi f T)}{ 2\pi f T}\hspace{0.05cm}.$$

Weiter gilt mit der Umformung 1 – cos(α) = 2 · sin²(α/2):

$${\rm Re} \left\{ H_3(f) \right \} = {\rm si} (2\pi f T)\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}{\rm si}(x)= {\rm sin}(x)/x \hspace{0.05cm},\\ {\rm Im} \left\{ H_3(f) \right \} = -\frac{\sin^2 (\pi f T)}{ \pi f T}= - {\rm si} (\pi f T) \cdot {\rm sin} (\pi f T) \hspace{0.05cm}.$$

Daraus folgt, dass beide Lösungsalternativen richtig sind.

4. Nein. Die Impulsantwort h₄(t) ist nicht kausal, so dass aus dem dazugehörigen Fourier–Spektrum H₄(f) keine Hilbert–Korrespondenz abgeleitet werden kann.

	Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten α ist ebenfalls α.
	Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten α ist 0.
	Die Hilbert–Transformierte einer Konstanten α verläuft sinusförmig.

	Die Hilbert–Transformierte von einem Cosinus ist eine Konstante.
	Die Hilbert–Transformierte einer Cosinusfunktion ist 0.
	Die Hilbert–Transformierte von einem Cosinus verläuft sinusförmig.

	Die Hilbert Transformierte lautet sin²(πfT)/(πfT).
	Die Hilbert Transformierte lautet sin(πfT) · si(πfT).

	Ja.
	Nein.