Exercise 1.3Z: Calculating with Complex Numbers II

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Z1.3 Nochmals komplexe Zahlen

Ausgegangen wird von drei komplexen Zahlen, die rechts in der komplexen Ebene dargestellt sind:

$$z_1 = 4 + 3 \text{j},$$

$$z_2 = -2 ,$$

$$z_3 = 6 \text{j} .$$

Im Rahmen dieser Aufgabe sollen berechnet werden:

$$z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star},$$

$$z_5 = z_1 + 2 \cdot z_2 - \frac{z_3}{2},$$

$$z_6 = z_1 \cdot z_2,$$

$$z_7 = \frac{z_3}{z_1}.$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Zum Rechnen mit komplexen Zahlen Die Thematik wird auch im folgenden Lernvideo behandelt: Rechnen mit komplexen Zahlen

Geben Sie Phasenwerte stets im Bereich $-180° < \phi ≤ +180°$ ein.

Fragebogen

1

Geben Sie $z_1$ nach Betrag und Phase an.

$|z_1|$ =

$\phi_1$ = $\text{Grad}$

2

Wie lautet $z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star} = x_4 + \text{j} \cdot y_4$?

$x_4$ =

$y_4$ =

3

Berechnen Sie $z_5 = x_5 + j \cdot y_5$ entsprechend der Angabenseite.

$x_5$ =

$y_5$ =

4

Geben Sie $z_6 = z_1 \cdot z_2$ nach Betrag und Phase (im Bereich $\pm 180°$) an.

$|z_6|$ =

$\phi_6$ = $-$ $\text{Grad}$

5

Welchen Phasenwert besitzt die rein imaginäre Zahl $z_3$?

$\phi_3$ = $\text{Grad}$

6

Berechnen Sie $z_7 = z_3/z_1$ nach Betrag und Phase (im Bereich $\pm 180°$).

$|z_7|$ =

$\phi_7$ = $\text{Grad}$

Musterlösung

Solution

1. Der Betrag kann nach dem Satz von Pythagoras brechnet werden:

$$|z_1| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}= \sqrt{4^2 + 3^2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 5}.$$

Für den Phasenwinkel gilt entsprechend der Seite 3 von Kapitel 1.3 :

$$\phi_1 = \arctan \frac{y_1}{x_1}= \arctan \frac{3}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ = 36.9^{\circ}}.$$

2. Die Multiplikation von $z_1$ mit deren Konjugiert-Komplexen $z_1^{\star}$ ergibt die rein reelle Größe $z_4$, wie die beiden nachfolgenden Gleichungen zeigen:

$$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 + y_1^2}= |z_1|^2 = 25,$$

$$z_4 = |z_1| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi_1} \cdot |z_1| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_1}= |z_1|^2 = 25$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm} x_4 \hspace{0.1cm}\underline{= 25}, \hspace{0.25cm}y_4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

3. Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil kann geschrieben werden:

$$x_5 = x_1 + 2 \cdot x_2 - \frac{x_3}{2} = 4 + 2 \cdot(-2) -0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$

$$y_5 = y_1 + 2 \cdot y_2 - \frac{y_3}{2} = 3 + 2 \cdot 0 - \frac{6}{2} \hspace{0.1cm}\underline{=0}.$$

4. Schreibt man $z_2$ nach Betrag und Phase ($|z_2| = 2, \phi_2 = 180°$), so erhält man für das Produkt:

$$|z_6| = |z_1| \cdot |z_2|= 5 \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline{= 10},$$

$$\phi_6 = \phi_1 + \phi_2 = 36.9^{\circ} + 180^{\circ} = 216.9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{= -143.1^{\circ}}.$$

5. Die Phase ist 90° (siehe Grafik auf der Angabenseite), wie man formal nachweisen kann:

$$\phi_6 = \arctan \left( \frac{6}{0}\right) = \arctan (\infty) \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_6 \hspace{0.15cm}\underline{= 90^{ \circ}}.$$

6. Zunächst die umständlichere Lösung:

$$z_7 = \frac{z_3}{z_1}= \frac{6{\rm j}}{4 + 3{\rm j}} = \frac{6{\rm j}\cdot(4 - 3{\rm j})}{(4 + 3{\rm j})\cdot (4 - 3{\rm j})} = \frac{18 +24{\rm j}}{25} = 1.2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 53.1^{ \circ}}.$$

Ein anderer Lösungsweg lautet:

$$|z_7| = \frac{|z_3|}{|z_1|} = \frac{6}{5}\hspace{0.15cm}\underline{=1.2}, \hspace{0.3cm}\phi_7 = \phi_3 - \phi_1 = 90^{\circ} - 36.9^{\circ} \hspace{0.15cm}\underline{=53.1^{\circ}}.$$