Exercise 2.2Z: Non-Linearities

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Z2.2 Nichtlinearitäten

Wir gehen von dem dreieckförmigen Signal $\text{x(t)}$ gemäß der oberen Abbildung aus. Gibt man dieses Signal auf einen Amplitudenbegrenzer, so entsteht das Signal

$$y(t)=\left\{ {x(t)\atop \rm 1V}{\hspace{0.5cm} {\rm f\ddot{u}r}\quad x(t)\le \rm 1V \atop {\rm sonst}}\right..$$

Eine zweite Nichtlinearität liefert das Signal

$$z(t)=x^2(t).$$

Die Gleichsignalanteile werden nachfolgend mit $x_0$, $y_0$ bzw. $z_0$ bezeichnet.

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich ebenfalls auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 2.2.

Fragebogen

1

Ermitteln Sie den Gleichsignalanteil $x_0$ des Signals $\text{x(t)}$.

$x_0$ = $\text{V}$

2

Ermitteln Sie den Gleichsignalanteil $y_0$ des Signals $\text{y(t)}$.

$y_0$ = $\text{V}$

3

Ermitteln Sie den Gleichsignalanteil $z_0$ des Signals $\text{z(t)}$.

$z_0$ = $\text{V}^2$

Musterlösung

Solution

1. Der Gleichsignalanteil $x_0$ ist der Mittelwert des Signals $\text{x(t)}$. Es genügt die Mittelung über eine Periodendauer $T_0 = 1 \text{ms}$, und man erhält:

$$x_0=\frac{1}{T_0}\int^{T_0}_0 x(t)\,{\rm d} t \hspace{0.15cm}\underline{=1\rm V}.$$

2. In der Hälfte der Zeit ist $\text{y(t)} = 1 \text{V}$, in der anderen Hälfte liegt es zwischen $0$ und $1 \text{V}$ mit dem Mittelwert bei $0.5 \text{V}$. Daraus folgt $y_0 \underline{= 0.75 \text{V}}$.

3.Aufgrund der Periodizität und der Symmetrie genügt die Mittelung über den Zeitbereich von $0$ bis $T_0/2$. Mit der entsprechenden Kennlinie gilt dann:

$$z_0=\frac{1}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 x^2(t)\,{\rm d}t=\frac{4\rm V^2}{T_0/2}\int^{T_0/2}_0 ({2t}/{T_0})^2\, {\rm d}t={4}/{3}\rm \;V^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx1.333\rm \;V^2}.$$