Exercise 3.9Z: Sine Transformation

Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Zufallsgröße x mit sin²-förmiger WDF im Bereich zwischen 0 und 2 (außerhalb ist die WDF identisch 0):

$$\it f_x(x)= \rm sin^2(\frac{\rm\pi}{\rm 2}\cdot \it x) \hspace{1cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}{\rm 0\le \it x \le \rm 2} .$$

Mittelwert und Streuung dieser Zufallsgröße x wurden bereits in der Aufgabe A3.3 ermittelt:

$$m_x = 1,\hspace{0.2cm}\sigma_x = 0.361.$$

Eine weitere Zufallsgröße y erhält man durch Transformation mittels der nichtlinearen Kennlinie

$$y= g(x) =\rm sin(\frac{\rm\pi}{\rm 2}\cdot\it x).$$

Die Abbildung zeigt oben die WDF f_x(x) und unten die nichtlineare Kennlinie y = g(x) im Bereich 0 ≤ x ≤ 2.

Hinweis: Die Aufgabe basiert auf den theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.3 und bezieht sich auch auf Kapitel3.6, Seite 2.

Vorgegeben sind die beiden unbestimmten Integrale:

$$\int \rm sin^{\rm 3}(\it ax)\,{\rm d}x = \frac{\rm 1}{\rm 3\it a}\rm \cdot cos^{\rm 3}(\it ax)-\frac{\rm 1}{\it a}\cdot \rm cos(\it ax),$$

$$\int \rm sin^{\rm 4}(\it ax)\,{\rm d}x =\frac{\rm 3}{\rm 8}\cdot \it x-\frac{\rm 1}{\rm 4\it a}\rm \cdot sin(\rm 2\it ax)+\frac{\rm 1}{\rm 32\it a}\cdot \rm sin(\rm 4\it ax).$$

Fragebogen

	y ist auf den Wertbereich 0 ≤ y ≤ 1 begrenzt.
	y ist auf den Wertbereich 0 < y ≤ 1 begrenzt.
	Der Mittelwert m_y ist kleiner als der Mittelwert m_x.

$m_y$ =

$\sigma_y$ =

$f_y(y=0.6)$ =

$Pr(y=1)$ =

Musterlösung

Solution

1. Aufgrund des Wertebereichs von x und der gegebenen Kennlinie kann y keine Werte kleiner als 0 bzw. größer als 1 annehmen. Der Wert y = 0 kann ebenfalls nicht auftreten, da weder x = 0 noch x = 2 möglich sind. Mit diesen Eigenschaften ergibt sich sicher m_y < 1, also ein kleinerer Wert als für m_x. Richtig sind also der zweite und der dritte Lösungsvorschlag.

2. Zur Lösung dieser Aufgabe könnte man beispielsweise zunächst die WDF f_y(y) bestimmen und daraus in gewohnter Weise m_y berechnen. Zum gleichen Ergebnis führt der direkte Weg:

$$\it m_y=E[y]=E[g(x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\cdot f_x(x)\,{\rm d}x.$$

Mit den aktuellen Funktionen g(x) und f_x(x) erhält man:

$$\it m_y=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.1cm}\rm sin^{\rm 3}(\frac{\rm\pi}{\rm 2}\cdot \it x)\,{\rm d}x=\frac{\rm 2}{\rm 3\cdot \pi}\cdot \rm cos^{\rm 3}(\frac{\rm \pi}{\rm 2}\cdot \it x)-\frac{\rm 2}{\rm \pi}\rm \cdot cos(\frac{3 \cdot \rm \pi}{\rm 2}\cdot \it x)\Big|_{\rm 0}^{\rm 2}=\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot \pi} \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.849}.$$

3. In Analogie zu Punkt 2. gilt:

$$\it m_{\rm 2\it y}=\it E[y^{\rm 2}]=\it E[g^{\rm 2}(\it x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.35cm}g^{\rm 2}(\it x)\cdot\it f_x(x)\,{\rm d}x.$$

Dies führt zum Ergebnis:

$$\it m_{\rm 2\it y}=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.15cm}\rm sin^{\rm 4}(\frac{\rm \pi}{\rm 2}\cdot\it x)\,{\rm d} x= \frac{\rm 3}{\rm 8}\cdot\it x-\frac{\rm 1}{\rm 2\cdot\pi}\cdot \rm sin(\rm \pi\cdot\it x)+\frac{\rm 1}{\rm 16\cdot\pi}\cdot \rm sin(\rm 2\cdot \pi\cdot\it x)\Big|_{\rm 0}^{\rm 2} \hspace{0.15cm}{= \rm 0.75}.$$

Mit dem Ergebnis aus 2. folgt somit für die Streuung:

$$\it \sigma_{y}=\sqrt{\frac{\rm 3}{\rm 4}-\Big(\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot\pi}\Big)^{\rm 2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.172}.$$

4. Aufgrund der Symmetrie von WDF f_x(x) und Kennlinie y = g(x) um x = 1 liefern die beiden Bereiche „0 ≤ x ≤ 1” und „1 ≤ x ≤ 2” jeweils den gleichen Beitrag für f_y(y). Im ersten Bereich ist die Ableitung der Kennlinie positiv,

$$\it g'(x)={\rm \pi}/{\rm 2}\cdot \rm cos({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot\it x),$$

und die Umkehrfunktion lautet:

$$\it x=h(y)={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \rm arcsin(\it y).$$

Unter Berücksichtigung des zweiten Beitrags durch den Faktor 2 erhält man für die gesuchte WDF im Bereich „0 ≤ y ≤ 1” (außerhalb ist f_y(y) = 0):

$$f_y(y)=\rm 2\cdot\frac{sin^{\rm 2}({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot\it x)}{{\rm \pi}/{\rm 2}\cdot cos({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot\it x)}\Big|_{\, \it x={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \rm arcsin(\it y)}.$$

Dies führt zum Zwischenergebnis:

$$f_y(y)=\frac{\rm 4}{\rm \pi}\cdot \frac{\rm sin^{\rm 2}(\rm arcsin(\it y))}{\sqrt{\rm 1-sin^{\rm 2}(\rm arcsin(\it y))}}.$$

Wegen sin(arcsin(y)) = y erhält man schließlich:

$$f_y(y)=\frac{\rm 4}{\rm \pi}\cdot \frac{\it y^{\rm 2}}{\sqrt{\rm 1-\it y^{\rm 2}}}.$$

An der Stelle y = 0.6 erhält man den Wert 0.573. Rechts ist die WDF f_y(y) grafisch dargestellt.

5. Die WDF ist an der Stelle y = 1 unendlich groß. Dies hängt damit zusammen, dass an dieser Stelle die Ableitung g'(x) der Kennlinie horizontal verläuft. Da aber y eine kontinuierliche Zufallsgröße ist, gilt trotzdem Pr(y = 1) = 0. Das bedeutet: Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist nicht identisch mit einer Diracfunktion.