Exercise 3.6: Partitioning Inequality

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Die $Kullback–Leibler–Distanz$ (kurz KLD) wird auch in der „Partitionierungsungleichung” (englisch: Partition Unequality) verwendet:

• Wir gehen von der Menge

$$X=\{ x_1,x_2,.....,x_M \}$$ und den Wahrscheinlichkeitsfunktionen

$P_X(X) = P_X(x_1,x_2,....,x_M)$ ,

$Q_X(X) = Q_X(x_1,x_2,....,x_M)$ aus, die in irgendeiner Form „ähnlich” sein sollen

• Die Menge $X$ unterteilen wir in die Partitionen $A_1, ..., A_K$ , die zueinander disjunkt sind und ein $vollständiges System$ ergeben:

$\bigcup_{i=_1}^K A_i = X$ , $A_i \cap A_j = \phi$ für $1 \leq i \neq j \leq K$

• Die Wahrscheinlichkeitsfunktionen bezüglich der Partitionierungen $A=\{ A_1,A_2,.....,A_K \}$bezeichnen wir im Folgenden mit

$P_X^{ (A) } = [ P_X(A_1),.......,P_X(A_K)]$ , wobei $P_X(A_i) = \sum\limits_{ x \epsilon A_i } P_X(x)$

$Q_X^{ (A) } = [ Q_X(A_1),.......,Q_X(A_K)]$ , wobei $Q_X(A_i) = \sum\limits_{ x \epsilon A_i } Q_X(x)$

Die $Partitionierungsungleichung$ liefert folgende Größenrelation hinsichtlich der Kullback–Leibler–Distanzen:

$D(P_X^{ (A) } \parallel Q_X^{ (A) } ) \leq D(P_X \parallel Q_X)$

In der Aufgabe (a) soll die Kullback–Leibler–Distanz der beiden Wahrscheinlichkietsfunktionen $P_X(X)$ und $Q_X(X)$ für $X = \{0, 1, 2\} \Rightarrow |X| = 3$ ermittelt werden. Anschließend soll die Menge $X$ entsprechend

• $A = \{A_1 , A_2\}$ mit $A_1 =\{0\}$ und $A_2 = \{ 1,2 \}$ ,
• $B = \{B_1 , B_2\}$ mit $B_1 =\{1\}$ und $B_2 = \{ 0,2 \}$ ,
• $C = \{C_1 , C_2\}$ mit $C_1 =\{2\}$ und $C_2 = \{ 0,1\}$ ,

mit $K = 2$ partitioniert werden und es sollen die jeweiligen Kullback–Leibler–Distanzen

• $D(P_X^{ (A) } \parallel Q_X^{ (A) } )$

• $D(P_X^{ (B) } \parallel Q_X^{ (B) } )$ ,

• $D(P_X^{ (C) } \parallel Q_X^{ (C) } )$

angegeben werden. In Aufgabe (e) wird schließlich nach den Bedingungen gefragt, damit in der obigen Ungleichung das Gleichheitszeichen zutrifft. Hinweis: Die Aufgabe gehört zu Kapitel 3.1.Die Wahrscheinlichkeitsfunktionen können aus obiger Grafik abgelesen werden:

$P_X(X) = [1/4 , 1/2 , 1/4]$

$Q_X(X) = [1/8 , 3/4, 1/8]$

Fragebogen

1

Berechnen Sie die Kullback–Leibler–Distanz (KLD) allgemein.

$ D(P_X \parallel Q_X)$ = $bit$

2

Welche KLD ergibt sich für die Partitionierung $ A_1 = \{0\}, A_2 = \{1, 2\}$?

$D(P_X^{ (A) } \parallel Q_X^{ (A) } )$ = $bit$

3

Welche KLD ergibt sich für die Partitionierung $ B_1 = \{1\}, A_2 = \{0, 2\}$?

$D(P_X^{ (B) } \parallel Q_X^{ (B) } )$ = $bit$

4

Welche KLD ergibt sich für die Partitionierung $ C_1 = \{2\}, A_2 = \{0, 1\}$?

	Das gleiche Ergebnis wie für die Partitionierung $A$.
	Das gleiche Ergebnis wie für die Partitionierung $B$.
	Ein ganz anderes Ergebnis.

5

Unter welchen Bedingungen ergibt sich für allgemeines $K$ die Gleichheit?

	Es müssen $|X|$ Gleichungen erfüllt sein.
	Für $x \epsilon A_i$ muss gelten : $P_X(x)/Q_X(x) = P_X(A_i)/ Q_X(A_i)$

Musterlösung

Solution

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.