Exercise 2.6Z: Signal-to-Noise Ratio

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Wir gehen von folgenden Voraussetzungen aus:

• cosinusförmiges Quellensignal:

$$ q(t) = 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 5\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$

• ZSB–AM durch Multiplikation mit

$$z(t) = 1 \cdot \cos(2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$

• frequenzunabhängige Dämpfung auf dem Kanal entsprechend $α_K = 10^{–4}$,
• additives weißes Rauschen am Empfängereingang mit Rauschleistungsdichte $N_0 = 4 · 10^{–19} W/Hz$,
• phasen– und frequenzsynchrone Demodulation durch Multiplikation mit gleichem $z(t)$ wie oben,
• rechteckförmiger Tiefpass mit der Grenzfrequenz $f_E = 5 kHz$ innerhalb des Synchrondemodulators.

In der Grafik sind diese Vorgaben im Spektralbereich dargestellt. Ausdrücklich soll erwähnt werden, dass das Leistungsdichtespektrum $Φ_z(f)$ der Cosinusschwingung $z(t)$ ebenso wie das Amplitudenspektrum $Z(f)$ sich aus zwei Diraclinien bei $±f_T$ zusammensetzt, aber mit dem Gewicht $A^2/4$ anstelle von $A/2$. Die Amplitude A ist bei dieser Aufgabe gleich 1 zu setzen.

Das Sinkensignal $υ(t)$ setzt sich aus dem Nutzanteil $α · q(t)$ und dem Rauschanteil $ε(t)$ zusammen. Somit gilt allgemein für das zu bestimmende Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis: $$ \rho_{v } = \frac{\alpha^2 \cdot P_q}{P_\varepsilon}\hspace{0.05cm}.$$ Dieses wichtige Qualitätskriterium wird häufig mit SNR (englisch: Signal–to–Noise–Ratio) abgekürzt.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 2.2. Beachten Sie bitte auch, dass

• die Größen $α$ und $α_K$ nicht unbedingt gleich sein müssen,
• sich alle Leistungen auf den Widerstand 50 Ω beziehen sollen,
• $P_q$ bei „ZSB–AM ohne Träger” gleichzeitig die Sendeleistung $P_S$ angibt.

Fragebogen

1

{Berechnen Sie die Sendeleistung, bezogen auf den Einheitswiderstand 1 Ω.

$P_q$ = $V^2$

2

Wie groß ist die Leistung $P_q$ in „W” für den Widerstand R = 50 Ω?

$P_q$ = $w$

3

Welcher Dämpfungsfaktor ergibt sich für das Gesamtsystem?

$α$ = $10{-4}$

4

Berechnen Sie die Leistungsdichte der Rauschkomponente $ε(t)$ am Ausgang. Wie groß ist der Wert bei $f = 0$? Es gelte $H_E(f = 0) = 1$.

$Φ_ε(f = 0)$ = $10^{-19}$ $W/Hz$

5

Wie groß ist die Rauschleistung im Sinkensignal?

$P_ε$ = $10^{-15 }$ $W$

6

Wie groß ist das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis (SNR) an der Sinke? Welcher db–Wert ergibt sich daraus?

$ρ_υ$ = $10^{5 }$

$10 · lg ρ_υ$ = $dB$

Musterlösung

Solution

1.Das Leistungsdichtespektrum eines Cosinussignals mit der Amplitude A besteht aus zwei Diraclinien, jeweils mit Gewicht $A^2/4$. Die Leistung ergibt sich aus dem Integral über das LDS und ist somit gleich der Summe der beiden Diracgewichte. Mit $A = 4 V$ erhält man somit für die Leistung des Quellensignals: $$ P_q = \frac{A^2}{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 8\,{\rm V^2}} \hspace{0.05cm}.$$ Beim Modulationsverfahren „ZSB-AM ohne Träger” ist dies gleichzeitig die auf den Einheitswiderstand 1 Ω bezogene Sendeleistung.

2. Nach den elementaren Gesetzen der Elektrotechnik gilt: $$P_q = \frac{8\,{\rm V^2}}{50\,{\Omega}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.16\,{\rm W}} \hspace{0.05cm}.$$

3. Im Theorieteil wird gezeigt, dass bei idealen Voraussetzungen $υ(t) = q(t)$ gilt. Wegen der Amplitude 1 des empfängerseitigen Trägersignals (anstelle von 2) gilt hier $υ(t) = q(t)/2$. Berücksichtigt man weiter die Kanaldämpfung $α_K = 10^–4$, so erhält man das Ergebnis $α = 0.5 · 10^–4$.

4.Das Leistungsdichtespektrum (LDS) des Produktes $n(t) · z(t)$ ergibt sich aus der Faltung der beiden Leistungsdichtespektren von $n(t)$ und $z(t)$: $$ {\it \Phi}_\varepsilon '(f) = {\it \Phi}_n (f) \star {\it \Phi}_{z }(f)= \frac{N_0}{2} \star \left[\delta(f - f_{\rm T}) + \delta(f + f_{\rm T}) \right]= N_0 \hspace{0.05cm}.$$ Für das Leistungsdichtespektrum des Signals ε(t) nach dem Tiefpass erhält man eine Rechteckform mit dem gleichen Wert bei $f = 0$: $${\it \Phi}_\varepsilon (f) = {\it \Phi}_\varepsilon '(f) \cdot |H_{\rm E}(f)|^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Phi}_\varepsilon (f=0)= N_0\hspace{0.15cm}\underline {= 4 \cdot 10^{-19}\,{\rm W/Hz}} \hspace{0.05cm}.$$

5.Die Rauschleistung ist das Integral über die Rauschleistungsdichte: $$ P_{\varepsilon} = \int\limits_{-f_{\rm E}}^{ + f_{\rm E}} {{\it \Phi}_\varepsilon (f)}\hspace{0.1cm}{\rm d}f = N_0 \cdot 2 f_{\rm E} = 4 \cdot 10^{-19}\,\frac{ W}{ Hz} \cdot 10^{4}\,{\rm Hz} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \cdot 10^{-15}\,{\rm W}}\hspace{0.05cm}.$$

6. Aus den Ergebnissen der Teilaufgaben b), c) und e) folgt: $$\rho_{v } = \frac{\alpha^2 \cdot P_q}{P_\varepsilon} = \frac{(0.5 \cdot 10^{-4})^2 \cdot 0.16\,{\rm W}}{4 \cdot 10^{-15}\,{\rm W}} \hspace{0.15cm}\underline {= 10^{5}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_{v } \hspace{0.15cm}\underline {= 50\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$