Exercise 3.2Z: Bessel Spectrum

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Wir betrachten das komplexe Signal $$x(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) }\hspace{0.05cm}.$$ Beispielsweise kann man das äquivalente TP–Signal am Ausgang eines Winkelmodulators (PM, FM) in dieser Form darstellen, wenn man geeignete Normierungen vornimmt. Die Fourierreihendarstellung lautet mit $T_0 = 2π/ω_0$: $$x(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_n \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.05cm},$$ $$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int\limits_{- T_0/2}^{+T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$ Diese komplexen Fourierkoeffizienten können mit Hilfe der Besselfunktionen erster Art und n–ter Ordnung ausgedrückt werden: $${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int\limits_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$ Diese sind in der Grafik im Bereich $0 ≤ η ≤ 5$ dargestellt. Für negative Werte von $n$ erhält man: $${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)\hspace{0.05cm}.$$ Die Reihendarstellung der Besselfunktionen lautet: $${\rm J}_n (\eta) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (\eta/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$ Sind die Funktionswerte für $n = 0$ und $n = 1$ bekannt, so können die Besselfunktionen für $n ≥ 2$ iterativ ermittelt werden: $${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite Besselfunktionen erster Art und n–ter Ordnung. Sie können auch folgendes Interaktionsmodul nutzen:

Werte der Besselfunktion erster Art und n–ter Ordnung

Besselfunktionen erster Art und n–ter Ordnung: Diese von dem Astronomen Friedrich Wilhelm Bessel 1844 eingeführten mathematischen Funktionen sind wie folgt definiert: $${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int\limits_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$ Für die Berechnung einer Besselfunktion ist allerdings die Reihendarstellung besser geeignet: $${\rm J}_n (\eta) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (\eta/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$ Sind die Funktionswerte für $n = 0$ und $n = 1$ bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für $n ≥ 2$ iterativ ermittelt werden: $${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$ Die nachfolgende Grafik zeigt die jeweils ersten drei Summanden (k = 0, 1, 2) dieser Reihen.

Der grau hinterlegte Term – gültig für $n = 3$ und $k = 2$ – lautet beispielsweise in ausgeschriebener Form: $$\frac{(-1)^2 \cdot (\eta/2)^{3 \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}2}}{2\hspace{0.05cm}! \cdot (3+2)\hspace{0.05cm}!} = \frac{1}{240}\cdot (\eta/2)^7 \hspace{0.05cm}.$$ Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form. Sie können auch mit dem nachfolgenden Berechnungsmodul ermittelt werden:

Werte der Besselfunktion erster Art

Fragebogen

1

Welche Eigenschaften besitzt das Signal x(t)?

	$x(t)$ ist für alle Zeiten t imaginär.
	x(t) ist für alle Zeiten t imaginär.
	Die Spektralfunktion $X(f)$ erhält man über das fourierintegral

2

Schreiben Sie die Fourierkoeffizienten $D_n$ mit den Besselfunktionen erster Art. Welche Zusammenhänge sind zu erkennen?

	Alle $D_n$ sind gleich $J_η(0)$.
	Es gilt $D_n = J_n(η)$.
	Es gilt $D_n = –J_η(n)$.

3

Welche Eigenschaften besitzen die Fourierkoeffizienten?

	Alle $D_n$ sind rein reell.
	Alle $D_n$ sind rein imaginär.

4

Für $η = 2$ lauten die Koeffizienten $D_0 = 0.224$ und $D_1 = 0.577$. Berechnen Sie hieraus die Koeffizienten $D_2$ und $D_3$.

$D_2$ =

$D_3$ =

5

Wie lauten die Fourierkoeffizienten $D_{–2}$ und $D_{–3}$ ?

$D_{–2}$ =

$D_{–3}$ =

Musterlösung

Solution

1. $x(t)$ ist ein komplexes Signal, das nur in Ausnahmefällen reell wird, zum Beispiel zur Zeit $t = 0$. Ein rein imaginärer Wert (zu gewissen Zeiten) kann sich nur dann ergeben, wenn $η ≥ π/2$ ist. Mit $T_0 = 2π/ω_0$ gilt beispielsweise: $$ x(t + k \cdot T_0) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_0)) } =$$ $$ = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi) } ={\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} ) } = x(t)\hspace{0.05cm}.$$ Dieses Signal ist somit periodisch. Zur Berechnung der Spektralfunktion muss deshalb die Fourierreihe und nicht das Fourierintegral herangezogen werden. Richtig ist also nur der zweite Lösungsvorschlag.

2.Die Fourierkoeffizienten lauten: $$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t) }\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$ Durch Zusammenfassen der beiden Terme und nach der Substitution $α = ω_0 · t$ erhält man: $$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm} = {\rm J}_n (\eta) .$$ Richtig ist also der zweite Lösungsvorschlag.

3.Mit dem Satz von Euler können die Fourierkoeffizienten wie folgt dargestellt werden: $$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha +$$ $$ + \frac[[:Template:\rm j]]{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$ Der Integrand des ersten Integrals ist eine gerade Funktion von α: $$I_1 (-\alpha) = {\cos( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\cos( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=$$ $$= {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = I_1 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$ Dagegen ist der zweite Integrand eine ungerade Funktion: $$I_2 (-\alpha) = {\sin( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\sin( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}=$$ $$ = -{\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = -I_2 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$ Somit verschwindet das zweite Integral und man erhält unter Berücksichtigung der Symmetrie: $$D_n = \frac{1}{\pi}\cdot \int_{0}^{\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$ Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 1.

4.Entsprechend der iterativen Berechnungsformel gilt für $η = 2$: $$ D_2 = D_1 - D_0 = 0.577 - 0.224 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$ $$D_3 = 2 \cdot D_2 - D_1 = 2 \cdot 0.353 - 0.577 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.129} \hspace{0.05cm}.$$

5. Aufgrund der angegebenen Symmetriebeziehung ist $D{–2} = D_2 = 0.353$ und $D{–3} = – D_3 = –0.129$.