Exercise 3.3: Sum of two Oscillations
Das äquivalente TP–Signal bei Phasenmodulation lautet $$ s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}K_{\rm PM}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q(t) }\hspace{0.05cm},$$ wenn eine Normierung auf die Trägeramplitude vorgenommen wird ($A_T = 1$). Die Modulatorkonstante wird in der gesamten Aufgabe zu $K_{PM} = 1/V$ angenommen.
Die obere Grafik zeigt die dazugehörige Spektralfunktion $B_1(f)$, wenn das Quellensignal
$$q_1(t) = 0.9\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)$$
anliegt. Die Gewichte der Bessel-Diraclinien ergeben sich mit $η_1 = 0.9$ wie folgt:
$${\rm J}_0 (0.9) = 0.808 \approx 0.8,$$
$${\rm J}_1 (0.9) = 0.406 \approx 0.4,$$
$${\rm J}_2 (0.9) = 0.095 \approx 0.1,$$
$${\rm J}_3 (0.9) \approx {\rm J}_4 (0.9) \approx ... \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
Verwenden Sie zur Vereinfachung der Berechnungen die in der Skizze angegebenen Näherungswerte.
Die Besselfunktion $B_2(f)$ ergibt sich für das Quellensignal $$q_2(t) = 0.65\,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 3\,{\rm kHz} \cdot t)$$ Die Zahlenwerte der Diraclinien erhält man aus $${\rm J}_0 (0.65) = 0.897 \approx 0.9,\hspace{0.3cm}{\rm J}_1 (0.65) = 0.308 \approx 0.3, \hspace{0.3cm}{\rm J}_2 (0.65) = 0.051 \approx 0\hspace{0.05cm}.$$ Aus der obigen Grafik ist zu erkennen, dass aufgrund des cosinusförmigen Quellensignals $q_2(t)$ und des cosinusförmigen Trägersignals $z(t)$ die Spektrallinien bei $±3 kHz$ jeweils positiv–imaginär sind.
Im Rahmen dieser Aufgabe soll nun der Fall untersucht werden, dass das Quellensignal $$q(t) = q_1(t) + q_2(t)$$ am Eingang des Phasenmodulators anliegt. Zu erwähnen ist, dass $|q(t)| < q_{max} = 1.45 V$ gilt. Dieser Maximalwert ist etwas kleiner als die Summe $A_1 + A_2$ der Einzelamplituden, wenn eine Sinus– und eine Cosinusfunktion mit den gegebenen Amplituden aufaddiert werden.
Im Fragebogen bezeichnen $S_{TP}(f)$ und $S_+(f)$ die Spektralfunktionen von äquivalentem TP–Signal und analytischem Signal unter der Annahme, dass $q(t)$ anliegt und die Trägerfrequenz $f_T = 100 kHz$ beträgt.
Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 3.1.
Fragebogen
Musterlösung
2. Es gilt $S_{TP}(f) = B_1(f) ∗ B_2(f)$. Da $B_1(f)$ auf Frequenzen $|f| ≤ 2 kHz$ und $B_2(f)$ auf den Bereich $±3 kHz$ begrenzt sind, ist das Faltungsprodukt auf $|f| ≤ 5$ kHz beschränkt: $f_{min} = –5 kHz$, $f_{max} = 5 kHz$.
3.Das Faltungsprodukt für $f = 0$ ergibt sich durch Multiplikation von $B_1(f)$ mit $B_2(f)$ und anschließender Summation. Nur für $f = 0$ sind sowohl $B_1(f)$ als auch $B_2(f)$ von Null verschieden. Damit erhält man: $$ S_{\rm TP}(f = 0) = B_{1}(f = 0) \cdot B_{2}(f = 0)= 0.8 \cdot 0.9 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.72}\hspace{0.2cm}{\rm (rein \hspace{0.15cm} reell)} \hspace{0.05cm}.$$
4. Nun muss vor der Multiplikation und Summation noch eine Frequenzverschiebung von $B_2(f)$ nach rechts – oder von $B_1(f)$ nach links – um 1 kHz erfolgen. Somit erhält man:
$$S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz}) = B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 3\,{\rm kHz}) +$$
$$ + B_{1}(f = 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0)=$$
$$ = 0.1 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 + 0.4 \cdot 0.9\hspace{0.15cm} = 0.36 + {\rm j} \cdot 0.03$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.36} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm TP}(f = 1\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.03} \hspace{0.05cm}.$$
5. Die Diraclinie $S_+(f = 98 kHz)$ entspricht der $S_{TP}(f)$–Linie bei $f = –2 kHz$. Diese ist
$$S_{\rm TP}(f = -2\,{\rm kHz}) = B_{1}(f = -2\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = 0) +$$
$$ + B_{1}(f = 1\,{\rm kHz}) \cdot B_{2}(f = -3\,{\rm kHz})=$$
$$= 0.1 \cdot 0.9 + 0.4 \cdot {\rm j} \cdot 0.3 \hspace{0.15cm}= 0.09 + {\rm j} \cdot 0.12$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Re}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm Im}[S_{\rm +}(f = 98\,{\rm kHz})] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.12} \hspace{0.05cm}.$$
