Exercise 3.3Z: Characteristics Determination

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Wir betrachten die Phasenmodulation der harmonischen Schwingung $$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}) \hspace{0.05cm},$$ die bei Voraussetzung einer normierten Trägeramplitude ($A_T = 1$) zu folgendem Sendesignal führt: $$ s(t) = \cos \left(\omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t) \right)\hspace{0.05cm}.$$ Das Spektrum des dazugehörigen analytischen Signals $s_{TP}(t)$ lautet allgemein: $$S_{\rm TP}(f) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\phi_{\rm N}\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} 90^\circ) }\cdot \hspace{0.05cm} \delta (f - n \cdot f_{\rm N})\hspace{0.05cm}$$ Hierbei bezeichnet man $η = K_{PM} · A_N$ als den Modulationsindex.

In der Grafik ist das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$ getrennt nach Real- und Imaginärteil dargestellt. Aus diesem sollen die Kenngrößen $f_T$, $f_N$, $ϕ_N$ und $η$ ermittelt werden.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.1. Zur Berechnung des Modulationsindex können Sie folgende Eigenschaft der Besselfunktion ausnutzen: $${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm J}_{2} (\eta)= {2}/{\eta} \cdot {\rm J}_{1} (\eta) - {\rm J}_{0} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Wie groß sind die Frequenzen $f_T$ und $f_N$?

$f_T$ = $KHz$

$f_N$ = $KHz$

2

Berechnen Sie den Betrag und die Phase von $S_{TP}(f = 3 kHz)$.

$|S_{TP}(f = 3 kHz)|$ =

$arc S_{TP}(f = 3 kHz)$ = $Grad$

3

Berechnen Sie den Betrag und die Phase von $S_{TP}(f = 6 kHz)$.

$|S_{TP}(f = 6 kHz)|$ =

$arc S_{TP}(f = 6 kHz)$ = $Grad$

4

Wie groß ist die Phase des Quellensignals?

$ϕ_N$ = $Grad$

5

Wie groß ist der Modulationsindex?

$η$ =

Musterlösung

Solution

1. Bezüglich $|S_+(f)|$ gibt es eine Symmetrie zur Trägerfrequenz $f_T = 40 kHz$. Der Abstand zwischen den Spektrallinien beträgt $f_N = 3 kHz$.

2. Unter Berücksichtigung von $S_{TP}(f = 3 kHz) = S_+(f = 43 kHz)$ gilt: $$|S_{\rm TP}(f = 3\,{\rm kHz})| = \sqrt{0.279^2 + 0.483^2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.558}\hspace{0.05cm},$$ $$ {\rm arc}\hspace{0.15cm} S_{\rm TP}(f = 3\,{\rm kHz}) = \arctan \frac{0.483}{0.279} = \arctan 1.732\hspace{0.15cm}\underline { = 60^\circ} \hspace{0.05cm}.$$

3. n analoger Weise zur Teilaufgabe b) erhält man für $6 kHz$: $$|S_{\rm TP}(f = 6\,{\rm kHz})| = \sqrt{(-0.116)^2 + 0.201^2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.232}\hspace{0.05cm},$$ $${\rm arc}\hspace{0.15cm} S_{\rm TP}(f = 6\,{\rm kHz}) = \arctan \frac{-0.116}{0.201} = 180^\circ - \arctan 1.732 \hspace{0.15cm}\underline {= 120^\circ} \hspace{0.05cm}.$$

4. Die Phase lautet für $n = 1$ (siehe Teilaufgabe b): $$ \phi_{\rm N} + 90^\circ = 60^\circ \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi_{\rm N} = -30^\circ\hspace{0.05cm}.$$ Die Überprüfung dieses Ergebnisses mit $n = 2$ liefert den gleichen Wert: $$ 2\cdot (\phi_{\rm N} + 90^\circ) = 120^\circ \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\phi_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= -30^\circ}\hspace{0.05cm}.$$

5. Die angegebene Gleichung kann wie folgt umgeformt werden: $$\eta = \frac{2 \cdot {\rm J}_{1}{(\eta)}}{{\rm J}_{0}(\eta) + {\rm J}_{2}(\eta)} \hspace{0.05cm}.$$ Mit $J_0(η) = 0.512$, $J_1(η) = 0.558$ und $J_2(η) = 0.232$ erhält man somit: $$ \eta = \frac{2 \cdot 0.558}{0.512 + 0.232}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.5}\hspace{0.05cm}.$$