Exercise 3.6: PM or FM? Or AM?

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Zur Analyse eines Modulators wird an seinen Eingang das Signal $$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$ angelegt, wobei die Signalamplitude stets $A_N = 2 V$ beträgt. Mit der Signalfrequenz $f_N = f_1 = 5 kHz$ wird die Ortskurve $O_1$ ermittelt. Verwendet man die Nachrichtenfrequenz $f_N = f_2$, so stellt sich die Ortskurve $O_2$ ein.

Beachten Sie bei Ihrer Lösung, dass bei Winkelmodulation – dies ist der Sammelbegriff für Phasen– und Frequenzmodulation – der folgende Zusammenhang zwischen dem Modulationsindex $η$ und der Modulatorkonstanten $K_{WM}$ besteht: $$\eta = \left\{ \begin{array}{c} K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N} \\ \frac{K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{bei}} \\ {\rm{bei}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\rm PM} \hspace{0.05cm}, \\ {\rm FM}. \hspace{0.05cm} \\ \end{array}$$ Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich wieder auf die Theorieteile von Kapitel 3.1 und Kapitel 3.2.

Fragebogen

1

Um welchen Modulator handelt es sich?

	AM–Modulator.
	PM–Modulator.
	FM–Modulator.

2

Wie groß ist der Modulationsindex mit der Nachrichtenfrequenz $f_N = f_1$?

$η_1$ =

3

Welchen Wert besitzt die Modulatorkonstante? Hinweis: Je nachdem, ob es sich um PM oder FM handelt, ist die Einheit „$V^{-1}$” bzw. „$V^{-1}s^{-1}$”.

$K_{WM}$ = $10^{4}$ $V^{-1}$ oder $(Vs)^{-1}$

4

Welchen Winkel $ϕ_0$ weist die Ortskurve mit $ϕ_N = 30°$ zum Zeitpunkt $t = 0$ auf?

$ϕ_N = 30°: ϕ_0$ = $Grad$

5

Mit welcher Nachrichtenfrequenz $f_N = f_2$ wurde die Ortskurve $O_2$ ermittelt?

$f_2$ = $KHz$

Musterlösung

Solution

1. Da die Ortskurve einen Kreisbogen beschreibt, handelt es sich um einen Winkelmodulator (PM oder FM) mit dem Modulationsindex $η$. Da aber hier $η$ offensichtlich von der Nachrichtenfrequenz $f_N$ abhängt, kann eine Phasenmodulation ausgeschlossen werden ⇒ FM–$\underline{Modulator}$ ⇒ $\underline{Antwort 3}$.

2.Der Modulationsindex kann aus der Grafik abgelesen werden. Es gilt $η_1 = 75°/180° · π ≈ 1.3$.

3. Bei Frequenzmodulation gilt: $$ K_{\rm WM} = K_{\rm FM} = \frac{ 2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot \eta}{A_{\rm N}} = \frac{ 2 \pi \cdot 5 \cdot 10^3 \,\,{\rm Hz}\cdot 1.3}{2\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.04 \cdot 10^4 \hspace{0.1cm}{\rm V^{-1}}{\rm s^{-1}}}\hspace{0.05cm}.$$ 4. Der Frequenzmodulator kann als Phasenmodulator realisiert werden, wenn vorher das Quellensignal integriert wird. Dieses lautet: $$q_{\rm I}(t) = \int q(t)\hspace{0.15cm}{\rm d}t = A_{\rm N} \cdot\int \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})\hspace{0.15cm}{\rm d}t =$$ $$ = \frac{A_{\rm N}}{\omega_{\rm N}} \cdot \sin(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N}) = \frac{A_{\rm N}}{\omega_{\rm N}} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N} - 90^\circ)\hspace{0.05cm}.$$ Somit ergibt sich für das äquivalente TP-Signal mit $ϕ_N = 30°$: $$s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}\cos(\omega_{\rm N} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t \hspace{0.03cm} - \hspace{0.03cm}60^\circ)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{\rm TP}(t = 0) = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}\cos(\hspace{0.03cm}60^\circ)} = {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\eta /2}\hspace{0.05cm}.$$ Der Nullphasenwinkel ist somit gleich $η/2$ entsprechend $37.5°$.

5. Aus der Definition des Modulationsindex bei FM folgt: $$\eta_1 = \frac{K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm 1}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \eta_2 = \frac{K_{\rm WM} \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm 2}}$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{f_2}{f_1}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_2 = \frac{\eta_1}{\eta_2} \cdot f_1 = \frac{75^\circ}{125^\circ} \cdot 5\,{\rm kHz} \hspace{0.15cm}\underline {= 3\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$