Einige allgemeine Bemerkungen zu AKF und LDS
Zur Beschreibung der inneren statistischen Bindungen zwischen den benachbarten Signalwerten r(t) und r(t + Δt) eignet sich die Autokorrelationsfunktion (AKF):
\[\varphi_r ({\rm \Delta}t) = {1}/{2} \cdot {\rm E}\left [ r(t) \cdot r^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ] \hspace{0.05cm}.\]
Gegenüber der Definition unter obigem Link sind folgende Unterschiede zu erkennen:
- Die AKF–Variable ist hier mit Δt anstelle von τ bezeichnet, da wir in diesem Buch das „τ” noch für die 2D–Impulsantwort h(t, τ) benötigen.
- Das äquivalente Tiefpass–Signal r(t) ist komplex. Durch den Faktor 1/2 bezieht sich aber die AKF φr(Δt) und insbesondere die Leistung φr(Δt = 0) auf das Bandpass–Signal rBP(t).
Beim Rayleigh–Fading–Kanalmodell gilt r(t) = s(t) · z(t). Damit ergibt sich für dessen AKF:
\[\varphi_r ({\rm \Delta}t) = {1}/{2} \cdot {\rm E}\left [ s(t) \cdot z(t) \cdot s^{\star}(t + {\rm \Delta}t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ] = \varphi_s ({\rm \Delta}t) \cdot \varphi_z ({\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.\]
Für die AKF von Sendesignal s(t) und multiplikativem Faktor z(t) gelten folgende Definitionen:
\[ \varphi_s ({\rm \Delta}t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {1}/{2} \cdot {\rm E}\left [ s(t) \cdot s^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ] \hspace{0.05cm},\] \[\varphi_z ({\rm \Delta}t) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm E}\left [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ]\hspace{0.05cm}.\]
Der Faktor 1/2 ist nur bei der AKF–Berechnung von BP–Signalen im äquivalenten TP–Bereich zu berücksichtigen, nicht jedoch bei φz(Δt). Ansonsten würde sich φr(Δt) ≠ φs(Δt) · φz(Δt) ergeben.
Aufgrund der Definition φz(Δt) = E[z(t) · z*(t + Δt)] ist die AKF auch bei einer komplexen Zeitfunktion z(t) stets reell und zudem bezüglich Δt gerade. Berücksichtigen wir weiterhin, dass
- z(t) = x(t) + j · y(t) ist,
- x(t) und y(t) gleiche statistische Eigenschaften aufweisen, und
- es zwischen x(t) und y(t) keine statistischen Bindungen gibt,
so lässt sich für die AKF des komplexen Faktors z(t) schreiben:
\[\varphi_z ({\rm \Delta}t) = \varphi_x ({\rm \Delta}t) + \varphi_y ({\rm \Delta}t) = 2 \cdot \varphi_x ({\rm \Delta}t) \hspace{0.05cm}.\]
Daraus ergibt sich folgende Vereinfachung:
- Zur Ermittlung der statistischen Bindungen der komplexen Größe z(t) muss nur einer der beiden Gaußschen Zufallsprozesse betrachtet werden. Im Folgenden sei dies x(t).
- Wir berechnen zuerst die Autokorrelationsfunktion φx(Δt) = E[x(t) · x(t + Δt)] des Realteils und anschließend auch dessen Leistungsdichtespektrum (LDS)
- \[{\it \Phi}_x (f_{\rm D}) = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi_x ({\rm \Delta}t) \cdot {\rm exp} [ -{\rm j} \cdot 2 \pi \cdot f_{\rm D} \cdot {\rm \Delta}t] \hspace{0.15cm}{\rm d}({\rm \Delta}t) \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.3cm} \varphi_x ({\rm \Delta}t) \hspace{0.05cm}.\]
- Für die entsprechenden Kenngrößen des komplexen Zufallsprozesses z(t) gilt dann:
- \[\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \cdot \varphi_x ({\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\it \Phi}_z (f_{\rm D}) = 2 \cdot {\it \Phi}_x (f_{\rm D}) \hspace{0.05cm}.\]
Die LDS–Variable ist die Dopplerfrequenz fD, da beim Mobilfunk der Dopplereffekt die Ursache der statistischen Bindungen ist. Dieser Effekt wird auf der nächsten Seite erläutert.
