Übertragungsfunktion und Impulsantwort
Die Beschreibungsgrößen eines Nachrichtenübertragungssystems wurden bereits in Kapitel 1.1 bzw. Kapitel 1.2 des Buches „Lineare zeitvariante Systeme” eingeführt und eingehend diskutiert. Die wichtigsten Ergebnisse sollen hier nochmals kurz zusammengefasst werden.
Vorausgesetzt wird zunächst ein lineares und zeitinvariantes System ⇒ LZI–System mit dem Signal s(t) am Eingang und dem Ausgangssignal r(t). Der Einfachheit halber seien s(t) und r(t) reell. Dann gilt:
- Das System lässt sich vollständig durch die Übertragungsfunktion H(f) charakterisieren. Man bezeichnet H(f) auch als den Frequenzgang. Definitionsgemäß gilt H(f) = R(f)/S(f).
- Ebenso ist das System durch die Impulsantwort h(t) als die Fourierrücktransformierte von H(f) vollständig gekennzeichnet. Das Ausgangssignal ergibt sich aus der Faltung:
- \[r(t) = s(t) \star h(t) \hspace{0.4cm} {\rm mit} \hspace{0.4cm} h(t) \hspace{0.2cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.2cm} H(f) \hspace{0.05cm}.\]
Um die durch H(f) bzw. h(t) entstehenden linearen Verzerrungen zu erkennen, eignen sich die folgenden Eingangssignale:
- ein Diracimpuls: s(t) = δ(t) ⇒ r(t) = h(t) ⇒ Impulsantwort,
- eine Sprungfunktion: s(t) = γ(t) ⇒ r(t) = γ(t) ∗ h(t) ⇒ Sprungantwort,
- ein Diracpuls: s(t) = pδ(t) ⇒ r(t) = pδ(t) ∗ h(t) ⇒ Pulsantwort.
Dagegen ist ein Gleichsignal s(t) = A nicht geeignet, die Frequenzabhängigkeit des LZI–Systems sichtbar werden zu lassen. Bei einem Tiefpass–System wäre dann das Ausgangssignal unabhängig von H(f) stets konstant: r(t) = A · H(f = 0).
Auf der nächsten Seite betrachten wir als Eingangssignal s(t) einen Diracpuls pδ(t). Hiermit lassen sich die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen zeitinvarianten und zeitvarianten Systemen sehr anschaulich darstellen.
Hinweis: Die Eigenschaften von H(f) und h(t) werden in einem Lernvideo behandelt:
Anmerkungen zur Übertragungsfunktion Please add link and do not upload flash videos (Dauer 9:08)
Zeitinvariante vs. zeitvariante Kanäle
Der Unterschied zwischen einem zeitinvarianten Kanal („LZI”) und einem zeitvarianten Kanal („LZV”) soll anhand der folgenden Grafik verdeutlicht werden.
Man erkennt aus dieser Darstellung:
- Das Sendesignal s(t) ist hier ein Diracpuls pδ(t), also eine unendliche Folge von Diracimpulsen in äquidistanten Abständen T, alle mit dem Gewicht 1 (siehe obere Grafik):
- \[s(t) = p_{\rm \delta} (t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} {\rm \delta} (t - n \cdot T) \hspace{0.05cm}.\]
- Grün markiert ist der Diracimpuls bei t = 0. Das Signal am Kanalausgang ist r(t) = h(t). Vorausgesetzt wird, dass die Ausdehnung der Impulsantwort h(t) deutlich kleiner ist als T.
- Für das gesamte Empfangssignal nach dem LZI–Kanal entsprechend der mittleren Grafik kann dann geschrieben werden:
- \[r(t) = p_{\rm \delta} (t) \star h(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} h (t - n \cdot T) \hspace{0.05cm}.\]
- Bei einem zeitvarianten Kanal ⇒ untere Grafik ist diese Gleichung nicht anwendbar. In jedem Zeitintervall ergibt sich nun eine andere Signalform: Man kann keine einparametrige Impulsantwort h(t) und dementsprechend auch keine Übertragungsfunktion H(f) angeben.
Hinweis: Folgendes Lernvideo beschreibt die Unterschiede zwischen LZV– und LZI–Systemen:
Eigenschaften des Übertragungskanals Please add link and do not add flash videos. (Dauer 5:50)
