Exercise 4.14Z: Offset QPSK vs. MSK

Eine Realisierungsmöglichkeit für die MSK bietet die Offset–QPSK (kurz: O–QPSK), wie aus den Blockschaltbildern im Theorieteil hervorgeht.

Beim normalen O–QPSK–Betrieb werden jeweils zwei Bit der Quellensymbolfolge 〈$q_k$〉 einem Bit $a_{Iν}$ im Inphasezweig und sowie einem Bit $a_{Qν}$ im Quadraturzweig zugeordnet.

Die Grafik zeigt diese Seriell–Parallel–Wandlung in den drei oberen Diagrammen für die ersten vier Bit des grün gezeichneten Quellensignals. Dabei ist zu beachten:

Die Darstellung der O–QPSK gilt für einen rechteckigen Grundimpuls. Mögliche Werte der Koeffizienten $a_{Iν}$ und $a_{Qν}$ sind ±1.
Durchläuft der Index k der Quellensymbole die Werte 1 bis 8, so nimmt die Variable ν nur die Werte 1 ... 4 an.
Die Skizze berücksichtigt den Zeitversatz (Offset) für den Quadraturzweig.

Bei der MSK–Realisierung mittels O–QPSK ist eine Umcodierung erforderlich. Hierbei gilt mit $q_k$ ∈ {+1, –1} und $a_k$ ∈ {+1, –1}: $$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k \hspace{0.05cm}.$$ Beispielsweise erhält man unter der Annahme $a-0 = +1$: $$a_1 = a_0 \cdot q_1 = +1,\hspace{0.2cm}a_2 = -a_1 \cdot q_2 = +1,$$ $$a_3 = a_2 \cdot q_3 = -1,\hspace{0.2cm}a_4 = -a_3 \cdot q_4 = -1 \hspace{0.05cm}.$$ Weiter ist zu berücksichtigen:

Die Koeffizienten $a_0 = +1$, $a_2 = +1$, $a_4 = –1$ sowie die noch zu berechnenden Koeffizienten a6 und a8 werden dem Signal $s_I(t)$ zugeordnet.
Dagegen werden die Koeffizienten $a_1 = +1$ und $a_3 = –1$ sowie alle weiteren Koeffizienten mit ungeradem Index dem Signal sQ(t) beaufschlagt.

Hinweis: Die Aufgabe gehört zu Kapitel 4.4. In Aufgabe A4.13 wird die zugehörige Phasenfunktion $ϕ(t)$ ermittelt, wobei wiederum der (auf 1 normierte) MSK–Grundimpuls zugrunde gelegt wird: $$g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}. \\ \end{array}$$

Fragebogen

$T_B$ =

$μs$

$O–QPSK: T$ =

$μs$

$O–QPSK: a_{I3}$ =

$a_{Q3}$ =

$a_{I4}$ =

$a_{Q4}$ =

$MSK: T$ =

$μs$

$ MSK: a_5$ =

$a_6$ =

$a_7$ =

$a_8$ =

Musterlösung

Solution

1. Aus der oberen Skizze kann man $T_B = 1 μs$ ablesen.

2. Bei QPSK bzw. Offset–QPSK ist aufgrund der Seriell–Parallel–Wandlung die Symboldauer T doppelt so groß wie die Bitdauer: $$ T = 2 \cdot T_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm}.$$

3. Entsprechend der aus der Skizze für die ersten Bit erkennbaren Zuordnung gilt: $$ a_{\rm I3} = q_5 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},\hspace{0.2cm}a_{\rm Q3} = q_6 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$ $$a_{\rm I4} = q_7 \hspace{0.15cm}\underline { = -1},\hspace{0.2cm}a_{\rm Q4} = q_8 \hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm}.$$

4. Bei der MSK ist die Symboldauer T gleich der Bitdauer: $$T = T_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = 1\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm}.$$ 5. Entsprechend der angegebenen Umcodiervorschrift gilt mit $a_4 = –1$: $$q_5 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_5 = a_4 \cdot q_5 \hspace{0.15cm}\underline {= -1},$$ $$q_6 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_6 = -a_5 \cdot q_6 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$ $$ q_7 = -1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_7 = a_6 \cdot q_7 \hspace{0.15cm}\underline {= -1}, $$ $$q_8 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_8 = -a_7 \cdot q_8\hspace{0.15cm}\underline { = +1}\hspace{0.05cm}.$$