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Kanalmodell und Rice–WDF
Die Rayleigh–Verteilung beschreibt den Mobilfunkkanal unter der Annahme, dass kein direkter Pfad vorhanden ist und sich somit der multiplikative Faktor z(t) allein aus diffus gestreuten Komponenten zusammensetzt. Bei Vorhandensein einer Direktkomponente (englisch: Line of Sight, LoS) muss man im Modell zu den mittelwertfreien Gaußprozessen x(t) und y(t) noch Gleichkomponenten hinzufügen:
\[x(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} x(t) +x_0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} y(t) +y_0\hspace{0.05cm},\]
\[z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t) \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} z(t) +z_0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} z_0 = x_0 + {\rm j} \cdot y_0\hspace{0.05cm}.\]
Die Grafik zeigt das Rice–Fading–Kanalmodell. Als Sonderfall ergibt sich daraus wieder das Rayleigh–Modell, wenn man x0 = y0 = 0 setzt.
Das Rice–Fading–Modell lässt sich wie folgt zusammenfassen:
- Der Realteil x(t) ist gaußverteilt (Mittelwert x0, und Varianz σ2). Der Imaginärteil y(t) ist ebenfalls gaußverteilt (Mittelwert y0, Varianz σ2) sowie unabhängig von x(t).
- Für z0 ≠ 0 ist der Betrag |z(t)| riceverteilt, woraus die Bezeichnung „Rice–Fading” herrührt. Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir |z(t)| = a(t). Für a ≤ 0 ist die Betrags–WDF fa(a) identisch 0, für a ≥ 0 gilt folgende Gleichung für die Rice–WDF:
- \[f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}.\]
- Hierbei bezeichnet I0 die modifizierte Bessel–Funktion nullter Ordnung.
- \[{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)} \hspace{0.05cm}.\]
- Der Mobilfunkkanal ist um so besser für die Digitalsignalübertragung geeignet, je größer die „Direktpfadleistung” (|z0|2) gegenüber den Leistungen der Streukomponenten (2σ2) ist.
- Ist |z0| >> σ (Faktor 3 oder mehr), so kann die Rice–WDF mit guter Näherung durch eine Gaußverteilung mit dem Mittelwert |z0| und der Streuung σ angenähert werden.
- Im Gegensatz zu Rayleigh (mit z0 = 0) ist die Phase bei Rice–Fading nicht gleichverteilt, sondern es gibt eine Vorzugsrichtung ϕ0 = arctan(y0/x0). Oft setzt man y0 = 0 ⇒ ϕ0 = 0.
Beispielhafte Signalverläufe bei Rice–Fading (1)
Die Grafik zeigt Signalverläufe und Dichtefunktionen zweier Mobilfunkkanäle:
- Rayleigh–Fading mit E[|z(t)|2] = 2σ2 = 1 (blaue Kurven),
- Rice–Fading mit gleichem σ sowie x0 = 0.707 und y0 = –0.707 (rote Kurven).
Für die Erzeugung der Signalausschnitte mit dem auf der letzten Seite gezeigten Modell wurde in beiden Fällen die maximale Dopplerfrequenz fD, max = 100 Hz zugrundegelegt. AKF und LDS von Rayleigh– und Rice–Fading unterscheiden sich nur geringfügig. Es gilt:
\[\varphi_z ({\rm \Delta}t)\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rice}} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \varphi_z ({\rm \Delta}t)\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rayleigh}} + |z_0|^2 \hspace{0.05cm},\] \[ {\it \Phi}_z(f_{\rm D})\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rice}} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\it \Phi}_z(f_{\rm D})\Bigg |_{\hspace{0.1cm}{\rm Rayleigh}} + |z_0|^2 \cdot \delta (f_{\rm D}) \hspace{0.05cm}.\]
Berücksichtigt ist, dass die Spektraldarstellung eines Gleichanteils zu einer Diracfunktion führt.
Die Bildbeschreibung folgt auf der nächsten Seite.
Beispielhafte Signalverläufe bei Rice–Fading (2)
Zu dieser Grafik ist anzumerken:
- Die Realteile x(t) von Rayleigh (blau), Rice (rot) unterscheiden sich durch die Konstante x0 = 0.707. Die statistischen Eigenschaften sind ansonsten gleich: Gaußsche WDF mit Streuung σ = 0.707, entweder mittelwertfrei (Rayleigh) oder mit Mittelwert x0 (Rice).
- Im Imaginärteil y(t) erkennt man bei Rice zusätzlich die Gleichkomponente y0 = –0.707. Die (in der Grafik nicht dargestellte) WDF fy(y) ist somit eine Gaußkurve mit der Streuung σ = 0.707 um den Mittelwert –0.707, also achsensymmetrisch zur skizzierten WDF fx(x).
- Die (logarithmische) Betragsdarstellung ⇒ a(t) = |z(t)| zeigt, dass die rote Kurve meist oberhalb der blauen liegt. Dies wird auch aus der WDF deutlich. Beim Rice–Kanal ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von AWGN–Rauschen niedriger als bei Rayleigh, da der Empfänger über den Rice–Direktpfad viel nutzbare Energie erhält.
- Die WDF fϕ(ϕ) zeigt den Vorzugswinkel ϕ ≈ –45° des Rice–Kanals. Der komplexe Faktor z(t) befindet sich großteils im 4. Quadranten (wegen x0 > 0, y0 < 0), während beim Rayleigh–Kanal alle Quadranten gleichwahrscheinlich sind.
Aufgaben
Zusatzaufgaben:1.6 Rayleigh und Rice im Vergleich
