Some Basics of Algebra

Definition eines Galoisfeldes

Bevor wir uns der Beschreibung der Reed–Solomon–Codes zuwenden können, benötigen wir einige algebraische Grundbegriffe. Beginnen wir mit den Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(q), benannt nach dem Franzosen Évariste Galois, dessen Biografie für einen Mathematiker eher ungewöhnlich ist.

: Ein Galoisfeld GF(q) ist ein endlicher Körper mit q Elementen z₀, z₁, ... , z_q–1, wenn alle acht nachfolgend aufgeführten Aussagen hinsichtlich der Addition („+”) und der Multiplikation („·”) zutreffen. Addition und Multiplikation sind hierbei modulo q zu verstehen.

(A) GF(q) ist in sich abgeschlossen ⇒ Closure:

\[\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q): \hspace{0.25cm}(z_i + z_j)\in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm}(z_i \cdot z_j)\in {\rm GF}(q) \hspace{0.05cm}. \]

(B) Es gibt ein hinsichtlich der Addition neutrales Element N_A, das man oft auch als das Nullelement bezeichnet ⇒ Identity for „+”:

\[\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q) : \hspace{0.25cm}z_i + z_j = z_i \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} z_j = N_{\rm A} = {\rm "0"} \hspace{0.25cm}{\rm (Nullelement)} \hspace{0.05cm}.\]

(C) Es gibt ein hinsichtlich der Multiplikation neutrales Element N_M, das oft auch als das Einselement bezeichnet wird ⇒ Identity for „·”:

\[\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q) : \hspace{0.25cm}z_i \cdot z_j = z_i \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} z_j = N_{\rm M} = {\rm "1"} \hspace{0.25cm}{\rm (Einselement)} \hspace{0.05cm}. \]

(D) Für jedes z_i existiert eine additive Inverse ⇒ Inverse for „+”:

\[\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) \in {\rm GF}(q): \hspace{0.25cm}z_i + {\rm Inv_A}(z_i) = N_{\rm A} = {\rm "0"} \]

\[ \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz:}\hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) = - z_i \hspace{0.05cm}. \]

(E) Für jedes z_i mit Ausnahme des Nullelements existiert die multiplikative Inverse ⇒ Inverse for „·”:

\[\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_i \ne N_{\rm A}, \hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) \in {\rm GF}(q): \hspace{0.25cm}z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = N_{\rm M} = {\rm "1"}\]

\[\Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz:}\hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) = z_i^{-1} \hspace{0.05cm}. \]

(F) Für Addition und Multiplikation gilt jeweils das Kommutativgesetz ⇒ Commutative Law:

\[\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q): \hspace{0.25cm}z_i + z_j = z_j + z_i ,\hspace{0.15cm}z_i \cdot z_j = z_j \cdot z_i \hspace{0.05cm}.\]

(G) Für Addition und Multiplikation gilt jeweils das Assoziativgesetz ⇒ Associative Law:

\[\forall \hspace{0.15cm} z_i,\hspace{0.1cm} z_j ,\hspace{0.1cm} z_k \in {\rm GF}(q): \hspace{0.25cm}(z_i + z_j) + z_k = z_i + (z_j + z_k ),\hspace{0.15cm}(z_i \cdot z_j) \cdot z_k = z_i \cdot (z_j \cdot z_k ) \hspace{0.05cm}.\]

(H) Für die Kombination „Addition – Multiplikation” gilt das Distributivgesetz ⇒ Distributive Law:

\[\forall \hspace{0.15cm} z_i,\hspace{0.15cm} z_j ,\hspace{0.15cm} z_k \in {\rm GF}(q): \hspace{0.25cm}(z_i + z_j) \cdot z_k = z_i \cdot z_k + z_j \cdot z_k \hspace{0.05cm}.\]

Es sei nochmals darauf hingewiesen, dass Addition („+”) und Multiplikation („·”) modulo q zu verstehen sind. Hierbei bezeichnet die Ordnung q die Anzahl der Elemente des Galoisfeldes.