Applets:Complementary Gaussian Error Functions

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Programmbeschreibung

Dieses Applet ermöglicht die Berechnung und graphische Darstellung

• der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z=\mu)$ einer diskreten Zufallsgröße $z \in \{\mu \} = \{0, 1, 2, 3, \text{...} \}$, welche die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) – im Englischen Probability Density Function (PDF) – der Zufallsgröße $z$ bestimmen – hier Darstellung mit Diracfunktionen ${\rm \delta}( z-\mu)$:

$$f_{z}(z)=\sum_{\mu=1}^{M}{\rm Pr}(z=\mu)\cdot {\rm \delta}( z-\mu),$$

• der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(z \le \mu)$ der Verteilungsfunktion (VTF) – im Englischen Cumulative Distribution Function (CDF):

$$F_{z}(\mu)={\rm Pr}(z\le\mu).$$

Als diskrete Verteilungen stehen in zwei Parametersätzen zur Auswahl:

• die Binomialverteilung mit den Parametern $I$ und $p$   ⇒   $z \in \{0, 1, \text{...} \ , I \}$   ⇒   $M = I+1$ mögliche Werte,
• die Poissonverteilung mit Parameter $\lambda$   ⇒   $z \in \{0, 1, 2, 3, \text{...}\}$   ⇒   $M \to \infty$.

In der Versuchsdurchführung sollen Sie miteinander vergleichen:

• je zwei Binomialverteilungen mit unterschiedlichen Parameterwerten $I$ und $p$,
• je zwei Poissonverteilungen mit unterschiedlicher Rate $\lambda$,
• jeweils eine Binomial– und eine Poissonverteilung.

Theoretischer Hintergrund

Bei der Untersuchung digitaler Übertragungssysteme muss oft die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass eine (mittelwertfreie) gaußverteilte Zufallsgröße $x$ mit der Varianz $σ^2$ einen vorgegebenen Wert $x_0$ überschreitet. Für diese Wahrscheinlichkeit gilt:

$${\rm Pr}(x > x_0)={\rm Q}(\frac{x_0}{\sigma}) = 0.5 \cdot {\rm erfc}(\frac{x_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma}).$$

Die Funktion ${\rm Q}(x )$

Die Funktion ${\rm Q}(x)$ bezeichnet man als das Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral. Es gilt folgende Berechnungsvorschrift:

$${\rm Q}(x ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x}^{ +\infty}\hspace{-0.2cm}{\rm e}^{-u^{2}/\hspace{0.05cm} 2}\,{\rm d} u .$$

• Dieses Integral ist nicht analytisch lösbar und muss – wenn man dieses Applet nicht zur Verfügung hat – aus Tabellen entnommen werden.
• Speziell für größere $x$–Werte von (also für kleine Fehlerwahrscheinlichkeiten) liefern die nachfolgend angegebenen Schranken eine brauchbare Abschätzung für das Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral, die auch ohne Tabellen berechnet werden können.
• Eine obere Schranke (englisch: Upper Bound ) des Komplementären Gaußschen Fehlerintegrals lautet:

$${\rm Q}_{\rm UB}(x )=\text{Upper Bound }\big [{\rm Q}(x ) \big ] = \frac{ 1}{\sqrt{2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{- x^{2}/\hspace{0.05cm}2} > {\rm Q}(x).$$

• Entsprechend gilt für die untere Schranke (englisch: Lower Bound ):

$${\rm Q}_{\rm LB}(x )=\text{Lower Bound }\big [{\rm Q}(x ) \big ] =\frac{1-1/x^2}{\sqrt{2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^ 2/\hspace{0.05cm}2} ={\rm Q}_{\rm UB}(x ) \cdot (1-1/x^2)< {\rm Q}(x).$$

In vielen Programmbibliotheken findet man allerdings die Funktion ${\rm Q}(x )$ nicht.

Die Funktion ${\rm erfc}(x )$

In fast allen Programmbibliotheken findet man dagegen die Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral (englisch: Complementary Gaussian Error Function)

$${\rm erfc}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{ +\infty}\hspace{-0.2cm}{\rm e}^{-u^{2}}\,{\rm d} u .$$

die mit ${\rm Q}(x)$ wie folgt zusammenhängt:  ${\rm Q}(x)=1/2\cdot {\rm erfc}(x/{\sqrt{2}}).$ Da bei fast allen Anwendungen diese Funktion mit dem Faktor $1/2$ verwendet wird, wurde in diesem Applet genau diese Funktion realisiert:

$$1/2 \cdot{\rm erfc}(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{ +\infty}\hspace{-0.2cm}{\rm e}^{-u^{2}}\,{\rm d} u .$$

• Auch für diese Funktion kann wieder eine obere und eine untere Schranke angegeben werden:

$$\text{Upper Bound }\big [1/2 \cdot{\rm erfc}(x) \big ] = \frac{ 1}{\sqrt{\pi}\cdot 2x}\cdot {\rm e}^{- x^{2}} ,$$

Das Grafik zeigt die Q-Funktion in logarithmischer Darstellung für lineare (obere Achse) und logarithmische Abszissenwerte (untere Achse).

• Die obere Schranke (rote Kreise) ist ab ca. $x = 1$ brauchbar, die untere Schranke (grüne Rauten) ab $x ≈ 2$.
• Für $x ≥ 4$ sind beide Schranken innerhalb der Zeichengenauigkeit vom tatsächlichen Verlauf ${\rm Q}(x)$ nicht mehr zu unterscheiden.

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Vorauswahl für blauen Parametersatz

    (B)     Parametereingabe $I$ und $p$ per Slider

    (C)     Vorauswahl für roten Parametersatz

    (D)     Parametereingabe $\lambda$ per Slider

    (E)     Graphische Darstellung der Verteilungen

    (F)     Momentenausgabe für blauen Parametersatz

    (G)     Momentenausgabe für roten Parametersatz

    (H)     Variation der grafischen Darstellung

$\hspace{1.5cm}$„$+$” (Vergrößern),

$\hspace{1.5cm}$ „$-$” (Verkleinern)

$\hspace{1.5cm}$ „$\rm o$” (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$ „$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.

    ( I )     Ausgabe von ${\rm Pr} (z = \mu)$ und ${\rm Pr} (z \le \mu)$

    (J)     Bereich für die Versuchsdurchführung

Andere Möglichkeiten zur Variation der grafischen Darstellung:

• Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
• Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2003 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
• 2018 wurde das Programm von Jimmy He (Bachelorarbeit, Betreuer: Tasnád Kernetzky ) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

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