Aufgaben:Exercise 1.1Z: Low-Pass Filter of 1st and 2nd Order

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Vorgegebene Dämpfungs–
und Phasenfunktion

Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend  Aufgabe 1.1  – hat folgenden Frequenzgang:

$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$

Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter

• oben der Dämpfungsverlauf  $a_1(f)$,
• unten der Phasenverlauf  $b_1(f)$.

Entsprechend gilt für einen Tiefpass  $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:

$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$

In dieser Aufgabe sollen

• ausgehend von den Funktionen  $a_1(f)$  und  $b_1(f)$  für den Tiefpass erster Ordnung
• der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden.

Allgemein gilt:

$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Systembeschreibung im Frequenzbereich.

• Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes  $|H| = 1/x$  besteht folgender Zusammenhang:

$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln (10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$

• Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen  $z_1$  und  $z_2$  folgende Gleichungen gelten:

$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$

Fragebogen

1

Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf  $a_1(f)$  eines Tiefpasses erster Ordnung in  $\rm dB$.
Welche  $\rm dB$–Werte ergeben sich bei  $f = f_0$  und  $f = 2f_0$?

$a_1(f = f_0)\ = \ $  $\text{dB}$

$a_1(f = 2f_0)\ = \ $  $\text{dB}$

2

Berechnen Sie den Phasenverlauf  $b_1(f)$.
Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei  $f = f_0$  und  $f = 2f_0$?

$b_1(f = f_0)\ = \ $  $\text{rad}$

$b_1(f = 2f_0)\ = \ $  $\text{rad}$

3

Welchen Dämpfungsverlauf  $a_n(f)$  hat ein Tiefpass  $n$–ter Ordnung?
Welche  $\rm dB$–Werte erhält man mit  $n = 2$  für  $f = f_0$  bzw.  $f = \: –2f_0$?

$a_2(f = f_0)\ = \ $  $\text{dB}$

$a_2(f = -2f_0)\ = \ $  $\text{dB}$

4

Berechnen Sie die Phasenfunktion  $b_2(f)$  eines Tiefpasses zweiter Ordnung.
Welche Werte (in Radian) erhält man für  $f = f_0$  und  $f = \: –2f_0$?

$b_2(f = f_0)\ = \ $  $\text{rad}$

$b_2(f = -2f_0)\ = \ $  $\text{rad}$

Musterlösung

Solution

(1)  Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet:

$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$

Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np):

$$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right] \Rightarrow a_1(f = f_0) = 0.34657 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.804719 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$

Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit $1/0.11513 = 8.68589$ und führt zu den Ergebnissen

• $ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$ für $ f = f_0$,
• $ \underline{6.99 \: {\rm dB}}$ für $ f = 2f_0$.

Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_0$.

(2)  Der Frequenzgang $H_1(f)$ kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden:

$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$

Damit ergibt sich für den Phasengang:

$$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$

• Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$,
• für $f = 2f_0$ den Wert $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.

(3)  Für den Amplitudengang eines Tiefpasses $n$–ter Ordnung gilt:

$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$

Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der $n$–fachen Multiplikation die $n$–fache Summe:

$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)= {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$

Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall:

$$a_2(f) = \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$

Die dB–Werte lauten nun:

• $ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$ für $f = ±f_0$,
• $\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$ für $f = ±2f_0$.

Damit ist offensichtlich, dass für $n > 1$ der Parameter $f_0$ nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt.

Für $n = 2$   ⇒   „Tiefpass zweiter Ordnung” gilt vielmehr der Zusammenhang:   ${f_{\rm G} } = {f_0}/\sqrt{2}$.

(4)  Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:

$$b_n(f) = n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) = 2 \cdot b_1(f).$$

Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen $±π$ möglich. Insbesondere ist

• $b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$,
• $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$.

Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier:   $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$.