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In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN–Rauschen („Additive White Gaussian Noise”) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit | In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN–Rauschen („Additive White Gaussian Noise”) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit | ||
| − | $$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= \frac{1}{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}$$ | + | :$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= \frac{1}{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}$$ |
gilt. Hierbei sind folgende Funktionen verwendet: | gilt. Hierbei sind folgende Funktionen verwendet: | ||
| − | $$\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it | + | :$$\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it |
x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u | x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u | ||
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| − | $${\rm erfc} (\it x) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm | + | :$${\rm erfc} (\it x) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm |
\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u | \pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u | ||
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| − | Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert | + | Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert $E = 0$ unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm L}$ und $p_{\rm H}$. |
| − | Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert | + | Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert $E$ eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden, wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind ( $p_{\rm L} ≠ p_{\rm H}$ ) |
| − | Die Streuung des Rauschanteils ist stets | + | Die Streuung des Rauschanteils ist stets $σ_{\rm d} = 0.5 \ \rm V$, die beiden Amplituden des Detektionsnutzanteils sind mit $±1 V$ fest vorgegeben. Zu untersuchen sind folgende Symbolwahrscheinlichkeiten: |
| − | * | + | *$p_{\rm L} = 0.88$ und $p_{\rm H} = 0.12$, |
| − | * | + | *$p_{\rm L} = 0.31$ und $p_{\rm H} = 0.69.$ |
| − | In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert | + | In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert $E = 0.1 \cdot s_{\rm 0}$ dargestellt. |
| − | + | ''Hinweise:'' | |
| − | $$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} (\it x)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}} | + | |
| + | *Die Aufgabe bezieht sich auf das [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung.]] Für die Ableitung der Q–Funktion gilt: | ||
| + | :$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} (\it x)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}} | ||
\cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.05cm}.$$ | \cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Die Werte der Funktion Q(x) können Sie mit folgendem Interaktionsmodul bestimmen: | + | *Die Werte der Funktion Q(x) können Sie mit folgendem Interaktionsmodul bestimmen: |
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| − | +erfc( | + | +erfc$(x)$ = $2 \cdot$ Q($2^{1/2} \cdot x$), |
| − | -erfc( | + | -erfc$(x)$ = $2^{1/2} \cdot$ Q($x/2^{1/2}$), |
| − | -erfc( | + | -erfc$(x) \approx$ Q($x$). |
Revision as of 17:52, 1 November 2017
Zur Optimierung des Schwellenwertes
In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN–Rauschen („Additive White Gaussian Noise”) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit
- $$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= \frac{1}{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}$$
gilt. Hierbei sind folgende Funktionen verwendet:
- $$\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm},$$
- $${\rm erfc} (\it x) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm \pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$
Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert $E = 0$ unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm L}$ und $p_{\rm H}$. Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert $E$ eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden, wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind ( $p_{\rm L} ≠ p_{\rm H}$ ) Die Streuung des Rauschanteils ist stets $σ_{\rm d} = 0.5 \ \rm V$, die beiden Amplituden des Detektionsnutzanteils sind mit $±1 V$ fest vorgegeben. Zu untersuchen sind folgende Symbolwahrscheinlichkeiten:
- $p_{\rm L} = 0.88$ und $p_{\rm H} = 0.12$,
- $p_{\rm L} = 0.31$ und $p_{\rm H} = 0.69.$
In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert $E = 0.1 \cdot s_{\rm 0}$ dargestellt.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung. Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:
- $$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} (\it x)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}} \cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.05cm}.$$
- Die Werte der Funktion Q(x) können Sie mit folgendem Interaktionsmodul bestimmen:
Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen
Fragebogen
Musterlösung
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
