Aufgaben:Exercise 1.6: Rectangular-in-Time Low-Pass Filter

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Rechteckförmige Impulsantwort, akausal und kausal

Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation:

• Der Frequenzgang $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt.
• Hierbei ist $h_1(t)$ im Bereich von $-1\ \rm ms$ bis $+1\ \rm ms$ konstant gleich $k$ und außerhalb Null.
• An den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert.
• Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit $Δt = 2 \ \rm ms$.

Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion $H_2(f)$ lautet:

$$h_2(t) = \delta(t - \tau).$$

Der Frequenzgang zwischen den Signalen $x(t)$ und $z(t)$ hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein:

$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi}f \tau}.$$

• Für die Teilaufgaben (1) bis (4) gelte $τ = 0$  ⇒  $H(f) = H_1(f)$.
• Mit $τ = 0$ kann hierfür aber auch geschrieben werden $(Δt = 2 \ \rm ms)$:

$$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$

Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für $τ ≠ 0$  nicht anwendbar ist, wegen:

$$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Spalt–Tiefpass.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die Höhe $k$ der Impulsantwort $h_1(t)$ unter der Nebenbedingung $H_1(f = 0) = 1$.

$k \ =\ $ $\ \rm 1/s$

2

Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein um $t = 0$ symmetrisches Rechteck der Dauer  $T = 2 \ \rm ms$  und der Höhe  $1 \, \rm V$. Es gelte $τ = 0$ .
Welche Aussagen sind zutreffend?

	$y(t)$ ist rechteckförmig.
	$y(t)$ ist dreieckförmig.
	$y(t)$ ist trapezförmig.
	Der Maximalwert von $y(t)$ beträgt $ 1\hspace{0.05cm} \rm V$.

3

Welche Aussagen treffen zu, wenn $x(t)$ die Rechteckbreite  $T = 2 \ \rm ms$  besitzt?

	$y(t)$ ist rechteckförmig.
	$y(t)$ ist dreieckförmig.
	$y(t)$ ist trapezförmig.
	Der Maximalwert von $y(t)$ beträgt $1\hspace{0.05cm} \rm V$.

4

Es gelte weiter $τ = 0$. Berechnen Sie das Ausgangssignal $z(t)$, wenn $x(t)$ zum Zeitpunkt $t = 0$ von Null auf $1\hspace{0.05cm} \rm V$ springt.
Welche Aussagen treffen zu?

	$z(t)$ ist eine gerade Funktion der Zeit.
	$z(t)$ weist bei $t = 0$ eine Sprungstelle auf.
	Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist $z(t) = 0$.
	Für $t > 1 \ \rm ms$ ist $z(t) = 0$.

5

Welchen Verlauf hat $z(t)$ als Antwort auf das sprungförmige Eingangssignal $x(t)$, wenn die Laufzeit  $τ =1 \hspace{0.05cm} \rm ms$  ist?
Welcher Signalwert tritt bei  $t =1 \hspace{0.05cm} \rm ms$  auf?

$z(t = 1 \rm \ ms) =\ $ $\ \rm V$

Musterlösung

Solution

(1)  Die Bedingung $H(f = 0) = 1$ bedeutet, dass die Fläche der Impulsantwort gleich $1$ ist. Daraus folgt:

$$k = {1}/{\Delta t} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\hspace{0.1cm}{ 1/{\rm s}}} .$$

(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 4:

• Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich als das Faltungsprodukt von $x(t)$ und $h(t)$.
• Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei $t = 0$:

$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {k \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {\frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau= 1\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$

rechts

(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

• Die Faltung von zwei unterschiedlich breiten Rechtecken führt zu einem trapezförmigen Ausgangssignal entsprechend der Skizze.
• Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von $-0.5 \ \rm ms$ bis $+0.5 \ \rm ms$ auf und beträgt

$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.05cm}\cdot 1\,{\rm ms} = 0.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$

rechts

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4:

• Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet: $h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$ Diese beiden Anteile sind in der Skizze dargestellt.
• Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit $1 \ \rm V$ kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$. In der unteren Skizze sind dargestellt:

• das Integral über $δ(t)$ blau,
• die Funktion $–σ(t)$ rot, und
• das gesamte Signal $z(t)$ grün.

• $z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t = 0$: Der Signalwert bei $t = 0$ liegt genau in der Mitte zwischen dem links– und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit 0.
• Für $t > 1 \ \rm ms$ gilt ebenfalls $z(t) = 0$, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist.

rechts

(5)  Die untere Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, die bei $t = 0$ auf $1$ springt und bis zum Zeitpunkt $t = 2 \ \rm ms$ auf den Endwert Null abklingt. Zum Zeitpunkt $t = 1\ \rm ms$ ergibt sich $σ_{\rm HP}(t) = 0.5$.

Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit $1 \ \rm V$ zu multiplizieren. Der gesuchte Signalwert zur Zeit $t_1 = 1 \ \rm ms$ ergibt sich zu $z(t_1) \; \rm \underline{ = \ 0.5}$.