Aufgaben:Exercise 2.1: DSB-AM with Cosine? Or with Sine?

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Spectrum: Analytical Signal

Let us consider the amplitude modulation of the source signal  $q(t)$  with the carrier signal  $z(t)$. These signals are given by:

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm},$$

$$z(t) = \hspace{0.15cm}1 \hspace{0.13cm} \cdot \hspace{0.1cm}\cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

The carrier frequency is known to be $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$.  The other system parameters  $A_{\rm N}$,  $f_{\rm N}$,  $ϕ_{\rm N}$  and  $ϕ_{\rm T}$  are to be determined in this exercise.

The spectrum  $S_+(f)$  of the analytical signal  $s_+(t)$  at the modulator output is also given (see graph):

$$S_+(f) = {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{30} )+ {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{50} )\hspace{0.05cm}.$$

Here, the abbreviations $f_{30} = 30\text{ kHz}$ and $f_{50} = 50\text{ kHz}$ are used.

As a reminder, the spectrum  $S_+(f)$  is obtained from  $S(f)$ by

• truncating the components at negative frequencies and
• doubling positive frequencies.

Hints:

• This exercise belongs to the chapter  Double-Sideband Amplitude Modulation.
• Particular reference will be made to the pages  Description in the frequency domain  and  Description in the time domain.
• The following trigonometric identities are given:

$$\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) = {1}/{2} \cdot \big[ \cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\big ] \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \cos(90^{\circ}- \hspace{0.05cm} \alpha) = \sin(\alpha) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \cos(90^{\circ}+ \hspace{0.05cm} \alpha) = -\sin(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$

Questions

1

Find the spectrum  $S(f)$.  Which of the following statements are correct?

	$S(f)$  consists of four Dirac functions.
	All Dirac weights have the same magnitude $2\text{ V}$.
	All Dirac weights are imaginary.

2

what is the modulated signal  $s(t)$?  Which statement is true?

	Es handelt sich um ZSB–AM ohne Träger.
	Es handelt sich um ZSB–AM mit Träger.

3

State the message signal frequency $f_{\rm N}$ .

$f_{\rm N} \ = \ $ $\ \text{kHz}$

4

Determine the phases of the source and carrier signals.

$ϕ_{\rm N} \ = \ $ $\ \text{degrees}$

$ϕ_{\rm T} \ = \ $ $\ \text{degrees}$

5

What is the amplitude of the message signal?

$A_{\rm N} \ = \ $ $\ \text{V}$

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig sind die Antworten 1 und 3:

• Bei positiven Frequenzen erhält man  $S_+(f)$  aus  $S(f)$  durch Verdoppelung.
• Daraus folgt, dass die Impulsgewichte von  $S(f)$  nur jeweils  ${\rm j} · 1 \text{ V}$  sind.
• Aufgrund des Zuordnungssatzes muss  $S(f)$  eine ungerade Funktion sein.
• Deshalb besitzt  $S(f)$  noch zwei weitere Diracfunktionen bei $f = -f_{30}$  und $f = -f_{50}$, jeweils mit dem Gewicht  $-{\rm j} · 1 \text{ V}$:

$$S(f) = 1\,{\rm V} \cdot \big[ {\rm j}\cdot \delta ( f - f_{30} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{30} )+ {\rm j} \cdot \delta ( f - f_{50} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{50} )\big] \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Die Fourierrücktransformation von  $S(f)$  führt mit  $ω_{30} = 2π · f_{30}$  und  $ω_{50} = 2πf_{50}$  zu folgendem Signal:

$$ s(t) = -2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 30} t )-2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 50} t )\hspace{0.05cm}.$$

• Dieser enthält keinen Anteil bei der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$, so dass die erste Aussage zutrifft.

(3)  Bei ZSB–AM ohne Träger beinhaltet  $s(t)$  nur die beiden Frequenzen $f_{\rm T} – f_{\rm N}$  und  $f_{\rm T} + f_{\rm N}$.

• Daraus folgt mit $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$  für die Nachrichtenfrequenz:   $f_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 10\ \rm kHz}.$

(4)  Bei ZSB–AM ohne Träger gilt:

$$s(t) = q(t) \cdot z(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\cdot \cos(\omega_{\rm T} t + \phi_{\rm T})$$

$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} s(t) = \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot \left[ \cos\left((\omega_{\rm T} +\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}\right) + \cos\left((\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}\right) \right] \hspace{0.05cm}.$$

• Ein Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (2)  zeigt, dass gelten muss:

$$\cos(\omega_{\rm 30} \cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}) = -\sin(\omega_{\rm 30} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$

$$\cos(\omega_{\rm 50} \cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}) = -\sin(\omega_{\rm 50} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$

• Beide Gleichungen sind gleichzeitig nur mit der Phase  $ϕ_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 0}$  zu erfüllen.
• Aus der letzten angegebenen trigonometrischen Beziehung folgt außerdem  $ϕ_{\rm T} \hspace{0.05cm}\underline {= 90^\circ} = π/2$.

(5)  Ein Vergleich der Ergebnisse aus  (2)  und  (4)  führt auf  $A_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 4 \ \rm V}$.  Damit lauten die Gleichungen der an der Modulation beteiligten Signale:

$$q(t ) = 4\,{\rm V} \cdot \cos (2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.05cm},$$

$$z(t) = 1 \cdot \cos (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t + 90^{\circ}) = -\sin (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$