Exercise 2.2Z: Discrete Random Variables

Gegeben seien drei diskrete Zufallsgrößen $a$, $b$ und $c$, die als die Momentanwerte der dargestellten Signale definiert seien. Diese besitzen folgende Eigenschaften:

Die Zufallsgröße $a$ kann die Werte $+1$ und $-1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.
Auch die Zufallsgröße $b$ ist zweipunktverteilt, aber mit ${\rm Pr}(b = 1) = p$ und ${\rm Pr}(b = 0) = 1 - p$.
Die Wahrscheinlichkeiten von $c$ seien ${\rm Pr}(c = 0) = 1/2$ und ${\rm Pr}(c = +1) = Pr(c = -1) =1/4$.
Zwischen diesen drei Zufallsgrößen $a$, $b$ und $c$ bestehen keine statistischen Abhängigkeiten.
Aus den Zufallsgrößen $a$, $b$ und $c$ wird eine weitere Zufallsvariable $d=a-2 b+c$ gebildet.

Die Grafik zeigt Ausschnitte dieser vier Zufallsgrößen. Es ist zu erkennen, dass $d$ alle ganzzahligen Werte zwischen $-4$ und $+2$ annehmen kann.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Momente einer diskreten Zufallsgröße.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Eine Zusammenfassung der Theamatik bietet das folgende Lernvideo:

Bedeutung und Berechnung der Momente bei diskreten Zufallsgrößen

Fragebogen

$\sigma_a \ =$

$p = 0.25\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.3cm} \sigma_b \ =$

$\sigma_c \ =$

$p = 0.25\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.3cm} m_d\ =$

$p = 0.25\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.3cm} m_{2d}$ =

$p = 0.25\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.3cm} \sigma_d$ =

Musterlösung

Solution

(1) Aufgrund der Symmetrie gilt: $$\rm \it m_{\it a}=\rm 0; \hspace{0.5cm}\it m_{\rm 2\it a}=\rm 0.5\cdot (-1)^2 + 0.5\cdot (1)^2{ = 1}.$$

Daraus erhält man mit dem Satz von Steiner: $$\it\sigma_a^{\rm 2} = \rm\sqrt{1-0^2}=1 \hspace{0.5cm}bzw. \hspace{0.5cm}\it\sigma_a\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 1}.$$

(2) Allgemein gilt für das Moment $k$–ter Ordnung: $$ m_{k}=(1-p)\cdot 0^{ k} + p\cdot 1^{k}= p.$$

Daraus folgt mit $p = 1/4$: $$m_{b}= m_{2b}= p, \hspace{0.5cm} \sigma_{\it b}=\sqrt{p\cdot (1- p)}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 0.433} .$$

(3) Für die Zufallsgröße $c$ gilt: $$m_{\it c} = 0\hspace{0.1cm} ({\rm symmetrisch\hspace{0.1cm}um\hspace{0.1cm}0)}, \hspace{0.5cm}m_{2\it c}= {1}/{4}\cdot(-1)^2+{1}/{2}\cdot 0^2+{1}/{4}\cdot (1)^2={1}/{2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\sigma_{\it c}=\rm \sqrt{1/2}\hspace{0.15cm} \underline{=0.707}.$$

(4) Nach den allgemeinen Regeln für Erwartungswerte gilt mit $p = 0.25$: $$m_{\it d} = {\rm E}[a-2 b+c]= {\rm E}[a] \hspace{0.1cm} -\hspace{0.1cm}\rm 2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} {\rm E}[ b]\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} {\rm E}[ c] = m_{ a}\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} m_{\it b}\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} m_{\it c} = 0-2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} p + 0 \hspace{0.15cm} \underline{= -0.5}.$$

(5) Analog zur Teilaufgabe (4) erhält man für den quadratischen Mittelwert: $$m_{2d}= {\rm E}[( a-2b+c)^{\rm 2}] = {\rm E}[a^{\rm 2}]\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}4\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} {\rm E}[ b^{\rm 2}]\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} {\rm E}[c^{\rm 2}]\hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}4\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} {\rm E}[a\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b]\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} 2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}{\rm E}[ a\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}c]\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm} 4\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}{\rm E}[ b\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}c].$$

Da aber $a$ und $b$ statistisch voneinander unabhängig sind, gilt auch: $${\rm E}[a\cdot b] = {\rm E}[ a] \cdot {\rm E}[ b]= m_{ a}\cdot m_{ b} = 0, \hspace{0.1cm} {\rm da}\hspace{0.1cm} m_{ a}=\rm 0.$$

Gleiches gilt für die anderen gemischten Terme. Daher erhält man mit $p = 0.25$: $$ m_{2 d}=m_{2 a}+4\cdot m_{ 2 b}+m_{ 2 c}=1+4\cdot p+0.5\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 2.5}.$$

(6) Für allgemeines $p$ bzw. für $p = 0.25$ ergibt sich: $$\sigma_{\it d}^{\rm 2}=1.5+4\cdot p - 4 \cdot p^{\rm 2}=2.25 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \sigma_{d}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm 1.5}.$$

Die maximale Varianz ergäbe sich für $p = 0.50$ zu $\sigma_{\it d}^{\rm 2}=2.50$.