Aufgaben:Exercise 2.4: GF(2 to the Power of 2) Representation Forms

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Three representations for  ${\rm GF}(2^2)$

Opposite you can see for the extension field  $\rm GF(2^2)$  the addition– as well as the multiplication table in three different variants:

• the polynomial representation,
• the coefficient vector representation,
• the exponent representation.

Hints:

• The exercise refers to the chapter  extension fields.
• All necessary information about  ${\rm GF}(2^2)$  can be found on the  first page  of this chapter.
• In the subtask (4) the following expressions are considered:

$$A = z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3,$$

$$B = (z_0 + z_1 + z_2) \cdot (z_0 + z_1 + z_3).$$

Questions

1

What characteristics can be recognized from the polynomial representation?

	The elements  $\alpha$  and  $1 + \alpha$  are neither  $0$  nor  $1$.
	The arithmetic operations are modulo  $2$.
	The arithmetic operations are performed modulo  $4$.
	One recognizes the result  $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$  from the addition table.
	One recognizes the result  $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$  from the multiplication table.

2

Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Koeffizientenvektor– und der Polynomdarstellung? Es gelte  $k_0 ∈ \{0, \, 1\}$  und  $k_1 ∈ \{0, \, 1\}$.

	$(k_0 \ k_1)$  bezieht sich auf das Element  $k_1 \cdot \alpha + k_0$.
	$(k_1 \ k_0)$  bezieht sich auf das Element  $k_1 \cdot \alpha + k_0$.
	Zwischen beiden Darstellungen besteht keinerlei Zusammenhang.

3

Wie hängen Polynom– und Exponentendarstellung zusammen?

	Es sind keine Zusammenhänge erkennbar.
	Die Elemente  $0, \ 1$  und  $\alpha$  sind in beiden Darstellungen gleich.
	Das Element  $1 + \alpha$  lautet in der Exponentendarstellung  $\alpha^2$.
	Das Element  $\alpha^2$  der Exponentendarstellung steht für  $\alpha \cdot (1 + \alpha)$.

4

Berechnen Sie die Ausdrücke  $A$  und  $B$  nach diesen drei Darstellungsformen. Welche Aussagen treffen zu?

	Es gilt  $A = z_0$,
	Es gilt  $A = z_2$,
	Es gilt  $B = z_1$,
	Es gilt  $B = z_3$.

Musterlösung

Solution

(1)  Zutreffend sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 5.

Begründung:

• Wäre $\alpha = 0$ oder $\alpha = 1$, so wäre das Pseudoelement $\alpha$ nicht mehr unterscheidbar von den beiden anderen ${\rm GF}(2)$–Elementen $0$ und $1$.
• Die Modulo–$2$–Rechnung erkennt man aus der Additionstabelle. Beispielsweise gilt $1 + 1 = 0, \ \alpha + \alpha = 0, \ (1 + \alpha) + (1 + \alpha) = 0$, usw.
• Aus der Multiplikationstabelle geht hervor, dass $\alpha^2 = \alpha \cdot \alpha = 1 + \alpha$ gilt (3. Zeile, 3. Spalte). Damit gilt auch

$$\alpha^2 + \alpha + 1 = 0.$$

(2)  Richtig ist Lösungsvorschlag 2. So steht

• "$01$" für das Element "$1$" und
• "$10$" für das Element "$\alpha$".

(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

• Es gilt $\alpha^0 = 1$ und $\alpha^1 = \alpha$.
• Bei dem zugrundeliegenden Polynom $p(x) = x^2 + x + 1$ folgt aus $p(\alpha) = 0$ weiterhin:

$$\alpha^2 +\alpha + 1 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} \alpha^2 =\alpha + 1 \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Entsprechend den Tabellen der Polynomdarstellung gilt:

$$A \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = \alpha \cdot \alpha + \alpha \cdot (1+\alpha) + (1+\alpha) \cdot (1+\alpha) = (1+\alpha) + (1) + (\alpha) = 0 = z_0 \hspace{0.05cm},$$

$$ B \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (z_0 + z_1 + z_2) \cdot (z_0 + z_1 + z_3) = (0 + 1 + \alpha) \cdot (0 + 1 + 1+ \alpha) = (1+\alpha) \cdot \alpha = 1 = z_1 \hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind demnach die Lösungsvorschläge 1 und 2.

Zu den gleichen Ergebnissen kommt man mit der Koeffizientenvektordarstellung:

$$A \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = (10) \cdot (10) + (10) \cdot (11) + (11) \cdot (11) = (11) + (01) + (10) = (00) = 0 = z_0 \hspace{0.05cm},$$

$$B \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (z_0 + z_1 + z_2) \cdot (z_0 + z_1 + z_3) = [(00) + (01) + (10)] \cdot [(00) + (01) + (11)] =(11) \cdot (10) = (01) = z_1 \hspace{0.05cm}.$$

Und schließlich mit der Exponentendarstellung:

$$A \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = \alpha^1 \cdot \alpha^1 + \alpha^1 \cdot \alpha^2 + \alpha^2 \cdot \alpha^2 = \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 = \alpha^2 + \alpha^0 + \alpha^1 = 0 = z_0 \hspace{0.05cm},$$

$$B \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(z_0 + z_1 + z_2) \cdot (z_0 + z_1 + z_3) = [0 + \alpha^0 + \alpha^1] \cdot [0 + \alpha^0 + \alpha^2] = \alpha^2 \cdot \alpha^1 = \alpha^3 = \alpha^0 = z_1 \hspace{0.05cm}.$$