Aufgaben:Exercise 2.5Z: Linear Distortions with DSB-AM

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Berücksichtigung des Kanalfrequenzgangs

As in  Exercise 2.5  here we will also examine:

• the DSB–AM/synchronous demodulator combination
• considerations involving a linear distorting channel .

Let the source signal  $q(t)$  be a cosine signal with amplitude  $A_{\rm N}$  and frequency  $f_{\rm N}$, such that the spectrum of the modulated signal is as follows:

$$S(f)= \frac{A_{\rm N}}{4} \cdot \big[\delta(f + f_{\rm O}) + \delta(f + f_{\rm U}) + \delta(f - f_{\rm U}) + \delta(f - f_{\rm O}) \big]\hspace{0.05cm}.$$

The subscripts stand for  $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$  (O for German "Oberes Seitenband" i.e. Upper Sideband) and  $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$  (U for "Unteres Seitenband" i.e. Lower Sideband).

The channel frequency response is only given for these two frequencies and is:

$$ H_{\rm K}(f_{\rm O}) = R_{\rm O} + {\rm j} \cdot I_{\rm O},\hspace{0.2cm}H_{\rm K}(f_{\rm U}) = R_{\rm U} + {\rm j} \cdot I_{\rm U} \hspace{0.05cm}.$$

For negative frequencies,  $H_{\rm K}(– f) = H_{\rm K}^*(f)$ always holds.

Use the following values for numerical calculations :

$$A_{\rm N} = 2\,{\rm V}, \hspace{0.15cm}f_{\rm N} = 3\,{\rm kHz}, \hspace{0.15cm}f_{\rm T} = 30\,{\rm kHz} \hspace{0.05cm},$$

$$R_{\rm U} = 0.8, \hspace{0.15cm}I_{\rm U} = -0.2, \hspace{0.15cm}R_{\rm O} = 0.4, \hspace{0.15cm}I_{\rm O} = -0.2 \hspace{0.05cm}.$$

In subtask  (3)  the solution should be found from the resulting frequency response of modulator, channel and demodulator:

$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \big[ H_{\rm K}(f + f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f - f_{\rm T})\big]\hspace{0.05cm}.$$

Finally, in subtask  (4)  the following channel frequency response is considered (the plot is only valid for positive frequencies):

$$ H_{\rm K}(f) = H_{\rm(4)}(f) = \frac{1}{1 + 3{\rm j} \cdot ({f}/{f_{\rm T}} - 1)}\hspace{0.05cm}.$$

Hints:

• This exercise belongs to the chapter   Synchronous Demodulation.
• Particular reference is made to the page  Influence of linear channel distortions.

Questions

1

Es gelte  $R_{\rm U} = 0.8, \ I_{\rm U} = -0.2, \ R_{\rm O} = 0.4, I_{\rm O} = -0.2.$  Berechnen und skizzieren Sie das Spektrum  $R(f)$  am Kanalausgang.
Wie lautet die Spektrallinie bei  $-f_{\rm O}$?

${\rm Re}[R(-f_{\rm O})] \ = \ $ $\ \text{V}$

${\rm Im}[R(-f_{\rm O})] \ = \ $ $\ \text{V}$

2

Wie lautet das Sinkensignal  $v(t)$?  Berücksichtigen Sie bei der Berechnung auch den Tiefpass des Synchrondemodulators.
Wie groß ist der Signalwert bei  $t = 0$?

$ v(t = 0) \ = \ $ $\ \text{V}$

3

Berechnen Sie nun das Sinkensignal  $v(t)$  über den resultierenden Frequenzgang  $H_{\rm MKD}(f)$  und bewerten Sie den Rechengang.

	Die Berechnung gemäß Teilaufgabe  (2)  führt schneller zum Erfolg.
	Die Berechnung gemäß Teilaufgabe  (3)  führt schneller zum Erfolg.

4

Berechnen Sie  $v(t)$  für den Kanalfrequenzgang  $ H_{\rm K}(f) = H_{\rm(4)}(f)$.  Wie groß ist der Signalwert bei  $t = 0$?

$ v(t = 0) \ = \ $ $\ \text{V}$

Musterlösung

Solution

Empfangsspektrum

(1)  Allgemein gilt  $R(f) = S(f) · H_K(f)$.  Damit erhält man das Linienspektrum gemäß nebenstehender Skizze  (alle Gewichte sind noch um die Einheit „V” zu ergänzen).

• Für das Gewicht der Spektrallinie bei  $f = -f_{\rm O}$ gilt:

$${\rm Re}[R(-f_{\rm O})]\hspace{0.15cm}\underline{=0.2 \ \rm V},$$

$${\rm Im}[R(-f_{\rm O})]\hspace{0.15cm}\underline{=0.1 \ \rm V}.$$

(2)  Die Spektralfunktion  $V(f)$  des Sinkensignals  $v(t)$  lautet:

$$V(f) = \big[ R(f) \star \left[\delta(f - f_{\rm T}) + \delta(f + f_{\rm T}) \right]\big]\cdot H_{\rm E}(f).$$

• Nach den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation kann hierfür auch geschrieben werden:

$$V(f) = \frac{A_{\rm N}}{4} \cdot (R_{\rm O} + {\rm j} \cdot I_{\rm O}) \cdot \delta(f - f_{\rm N}) + \frac{A_{\rm N}}{4} \cdot (R_{\rm U} + {\rm j} \cdot I_{\rm U}) \cdot \delta(f + f_{\rm N})+$$

$$\hspace{2.25cm}+ \frac{A_{\rm N}}{4} \cdot (R_{\rm O} - {\rm j} \cdot I_{\rm O}) \cdot \delta(f + f_{\rm N})+ \frac{A_{\rm N}}{4} \cdot (R_{\rm U} - {\rm j} \cdot I_{\rm U}) \cdot \delta(f - f_{\rm N}) \hspace{0.05cm}.$$

• Alle anderen Terme liegen um die doppelte Trägerfrequenz und werden durch den Tiefpass eliminiert.
• Umsortieren und Zusammenfassen der Terme führt zu:

$$V(f) = A_{\rm N}\cdot \frac{R_{\rm U} +R_{\rm O}}{2}\cdot \frac{1}{2} \cdot \left[\delta(f - f_{\rm N}) + \delta(f + f_{\rm N}) \right] + A_{\rm N}\cdot \frac{I_{\rm U} - I_{\rm O}}{2}\cdot \frac{\rm j}{2} \cdot \left[-\delta(f - f_{\rm N}) + \delta(f + f_{\rm N}) \right]$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}v(t) = A_{\rm N}\cdot \frac{R_{\rm U} +R_{\rm O}}{2}\cdot\cos (\omega_{\rm N}\cdot t)+ A_{\rm N}\cdot \frac{I_{\rm U} -I_{\rm O}}{2}\cdot\sin (\omega_{\rm N}\cdot t)\hspace{0.05cm}.$$

• Mit  $R_{\rm U} = 0.8, I_{\rm U} = -0.2, R_{\rm O} = 0.4, I_{\rm O} = -0.2$  folgt daraus:

$$v(t) = 0.6 \cdot A_{\rm N}\cdot \cos (\omega_{\rm N}\cdot t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} v(t=0) = 0.6 \cdot A_{\rm N}\hspace{0.15cm}\underline {= 1.2\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

• Es ergibt sich gegenüber  $q(t)$  eine Dämpfung um den Faktor  $0.6$.
• Der Synchrondemodulator bekommt durch das untere Seitenband mehr Information über das Quellensignal als über das obere.
• Wegen der Eigenschaft  $I_{\rm O} = I_{\rm U}$  ist  $v(t)$  ebenfalls cosinusförmig.
• Es tritt demnach keine Laufzeit auf bzw. die Laufzeit ist ein geradzahliges Vielfaches der Periodendauer.

(3)  Hier gelten folgende Gleichungen:

$$ H_{\rm K}(f_{\rm N}+ f_{\rm T}) = R_{\rm O} + {\rm j} \cdot I_{\rm O} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} H_{\rm K}(f_{\rm N}- f_{\rm T}) = H_{\rm K}^{\star}(f_{\rm T}- f_{\rm N}) = R_{\rm U} - {\rm j} \cdot I_{\rm U} $$

$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} H_{\rm MKD}(f_{\rm N}) = {1}/{2} \cdot \big[(R_{\rm O} +R_{\rm U}) + {\rm j} \cdot (I_{\rm O} -I_{\rm U}) \big]\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} H_{\rm MKD}(-f_{\rm N}) = H_{\rm MKD}^\star(f_{\rm N}) = {1}/{2} \cdot \big[(R_{\rm O} +R_{\rm U}) - {\rm j} \cdot (I_{\rm O} -I_{\rm U}) \big]\hspace{0.05cm}.$$

• Man erhält somit das gleiche Ergebnis wie unter  (2), aber schneller ⇒ Lösungsvorschlag 2.

(4)  Für  $f > 0$  lautet nun der resultierende Frequenzgang:

$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \left[ H_{\rm K}(f_{\rm T}+ f) + H_{\rm K}^\star(f_{\rm T}-f)\right]= {1}/{2} \cdot \left[ \frac{1}{1 + 3{\rm j} \cdot (\frac{f_{\rm T}+f}{f_{\rm T}} - 1)} + \frac{1}{1 - 3{\rm j} \cdot (\frac{f_{\rm T}-f}{f_{\rm T}} - 1)}\right] $$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm MKD}(f) = \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot {3f}/{f_{\rm T}} } \hspace{0.05cm}.$$

• Eingesetzt an der Stelle  $f = f_{\rm N}$  führt dies zum Ergebnis:

$$H_{\rm MKD}(f_{\rm N}) = \frac{1}{1 + {\rm j} \cdot {3f_{\rm N}}/{f_{\rm T}} } \hspace{1.0cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Betrag} = \frac{1}{\sqrt{1 + ({3f_{\rm N}}/{f_{\rm T}} )^2}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm Phase} = {\rm arctan}\hspace{0.1cm}({3f_{\rm N}}/{f_{\rm T}}) \hspace{0.05cm}.$$

• Mit  $f_{\rm N}/f_{\rm T} = 0.1$  erhält man den Betrag  $0.958$  und die Phase  $16.7^\circ$.  Damit lautet das Sinkensignal:

$$v(t) = 0.958 \cdot 2\,{\rm V}\cdot \cos (\omega_{\rm N}\cdot t + 16.7^\circ) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} v(t=0)= 1.916\,{\rm V}\cdot \cos ( 16.7^\circ)\hspace{0.15cm}\underline { = 1.835\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$