Aufgaben:Exercise 2.6: Free Space Attenuation

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Photo of a transmitter

A shortwave transmitter operated according to the modulation method "DSB-AM with carrier" works with carrier frequency  $f_{\rm T} = 20 \ \rm MHz$  and transmit power $P_{\rm S} = 100\ \rm kW$.  It is designed for a bandwidth of  $B_{\rm NF} = 8 \ \rm kHz$ .

For test operation, a mobile receiver is used, which operates with a synchronous demodulator. If this is located at distance   $d$  from the transmitter, the attenuation function of the transmission channel can be approximated as follows:

$$\frac{a_{\rm K}(d, f)}{\rm dB} = 34 + 20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.2cm}\frac{d}{\rm km} + 20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.2cm}\frac{f}{\rm MHz} \hspace{0.05cm}.$$

This equation describes so-called  free space attenuation, which also depends on the (carrier) frequency.

It can be assumed that the entire DSB-AM spectrum is attenuated like the carrier frequency. This means that

• the slightly larger attenuation of the upper sideband (USB), and
• the slightly smaller attenuation of the lower sideband (LSB)

are compensated for by a corresponding pre-distortion at the transmitter.

Let the effective noise power density at the receiver be  $N_0 = 10^{–14} \ \rm W/Hz.$

For the first two subtasks, it is assumed that the transmitter transmits only the carrier, which is equivalent to the modulation depth being  $m = 0$ .

Hints:

• This exercise belongs to the chapter   Synchronous Demodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Sink SNR and the performance paramter.

Questions

1

Welche Leistung wird im Abstand  $d = 10 \ \rm km$  vom Sender empfangen, wenn nur der Träger abgestrahlt wird  $(m = 0)$?

$P_{\rm E} \ = \ $ $\ \rm mW$

2

In welcher Entfernung  $d$  vom Sender befindet sich der Empfänger, wenn die empfangene Leistung  $P_{\rm E} = 100 \ \rm µ W$ beträgt??

$d \ = \ $ $\ \rm km$

3

Welches Sinken–SNR ergibt sich bei der unter  (2)  berechneten Distanz  $d$, wenn der Modulationsgrad  $m = 0.5$  beträgt?

$10 · \lg ρ_v \ = \ $ $\ \text{dB}$

4

Wie groß muss der Modulationsgrad  $m$  mindestens gewählt werden, damit sich ein Sinken–Störabstand von  $60 \ \rm dB$  ergibt?

$m_{\min} \ = \ $

5

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	ZSB–AM mit Träger macht aus energetischen Gründen keinen Sinn, wenn ein Synchrondemodulator verwendet wird.
	ZSB–AM ohne Träger macht aus energetischen Gründen keinen Sinn, wenn ein Synchrondemodulator verwendet wird.
	Ein kleiner Trägeranteil kann für die erforderliche Frequenz– und Phasensynchronisation hilfreich sein.

Musterlösung

Solution

(1)  Entsprechend der Gleichung für die Freiraumdämpfung gilt mit  $d = 10\ \rm km$  und  $f_{\rm T} = 20 \ \rm MHz$:

$$\frac{a_{\rm K}(d, f_{\rm T})}{\rm dB} = 34 + 20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\frac{d}{\rm km} + 20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\frac{f_{\rm T}}{\rm MHz}= 34 + 20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}(10) + 20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}(20)\approx 80\hspace{0.1cm}{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$

• Dies entspricht einer Leistungsverminderung um den Faktor  $10^{8}$:

$$P_{\rm E}= 10^{-8} \cdot P_{\rm S}= 10^{-8} \cdot 100\,{\rm kW}\hspace{0.15cm}\underline {= 1\, {\rm mW} \hspace{0.05cm}}.$$

(2)  Aus  $P_{\rm S} = 10^5 \ \rm W$, $P_{\rm E} = 10{^–4}\ \rm W$  folgt eine Freiraumdämpfung von  $90 \ \rm dB$.  Daraus erhält man weiter:

$$20 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\frac{d}{\rm km} = ( 90-34 - 26)\hspace{0.1cm}{\rm dB}= 30\,{\rm dB}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} d = 10^{1.5}\,{\rm km}\hspace{0.15cm}\underline { = 31.6\,{\rm km}\hspace{0.05cm}}.$$

(3)  Bei ZSB–AM ohne Träger, das heißt für den Modulationsgrad  $m → ∞$, würde gelten:

$$ \rho_{v } = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{{N_0} \cdot B_{\rm NF}} = \frac{ P_{\rm E}}{{N_0} \cdot B_{\rm NF}}= \frac{10^{-4}\,{\rm W}}{10^{-14}\,{\rm W/Hz}\cdot 8 \cdot 10^{3}\,{\rm Hz} } = 1.25 \cdot 10^6\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_{v } \approx 61\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$

• Mit dem Modulationsgrad  $m = 0.5$  wird das Sinken–SNR um den Faktor  $[1 +{2}/{m^2}]^{-1} = {1}/{9}$  kleiner.  Der Sinken–Störabstand ist somit ebenfalls geringer:

$$ 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\rho_{v } = 61\,{\rm dB}- 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}(9) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 51.5\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}}.$$

(4)  Entsprechend den Berechnungen zur Teilaufgabe  (3)  muss nun folgende Bedingung erfüllt sein:

$$ 10 \cdot {\rm lg }\hspace{0.1cm}\left({1 + {2}/{m^2}}\right) < 1\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 1 +{2}/{m^2} < 10^{0.1}=1.259 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{2}/{m^2} < 0.259 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m > \sqrt{8}\approx 2.83 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline {= 2.83} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Richtig sind die Vorschläge 1 und 3:

• Bei Verwendung eines Synchrondemodulators macht die Zusetzung des Trägers keinen Sinn, außer, dieser ist für die erforderliche Trägerrückgewinnung nützlich.
• Da der Träger zur Demodulation nicht genutzt werden kann, steht nur ein Bruchteil der Sendeleistung für die Demodulation zur Verfügung  $($ein Drittel bei  $m = 1$, ein Neuntel bei  $m = 0.5)$.