Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 2.6: GF(P power m). Which P, which m?"
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[[File:P_ID2510__KC_A_2_6_neu.png|right|frame|Zugrunde liegende Tabellen für Addition und Multiplikation]] | [[File:P_ID2510__KC_A_2_6_neu.png|right|frame|Zugrunde liegende Tabellen für Addition und Multiplikation]] | ||
Es soll ein Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ mit $q = P^m$ Elementen analysiert werden, das durch die nebenstehenden Tabellen definiert ist | Es soll ein Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ mit $q = P^m$ Elementen analysiert werden, das durch die nebenstehenden Tabellen definiert ist | ||
− | *für Addition (gekennzeichnet mit "$+$ | + | *für Addition (gekennzeichnet mit "$+$"), und |
− | *für Multiplikation (gekennzeichnet mit "$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$ | + | *für Multiplikation (gekennzeichnet mit "$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$"). |
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Channel_Coding/Erweiterungsk%C3%B6rper| Erweiterungskörper]]. | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Channel_Coding/Erweiterungsk%C3%B6rper| Erweiterungskörper]]. | ||
− | * In den Tabellen sind die Elemente $z_0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm} , \ z_8$ als Koeffizientenvektoren bezeichnet. Zum Beispiel steht "$2\hspace{0.03cm}1$ | + | * In den Tabellen sind die Elemente $z_0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm} , \ z_8$ als Koeffizientenvektoren bezeichnet. Zum Beispiel steht "$2\hspace{0.03cm}1$" für "$2 \cdot \alpha + 1$". |
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{Wie lautet das neutrale Element für die Addition? | {Wie lautet das neutrale Element für die Addition? | ||
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− | + Das neutrale Element der Addition ist $N_{\rm A} = \,$ "$0\hspace{0.03cm}0$ | + | + Das neutrale Element der Addition ist $N_{\rm A} = \,$ "$0\hspace{0.03cm}0$", |
− | - Das neutrale Element der Addition ist $N_{\rm A} = \,$ "$0\hspace{0.03cm}1$ | + | - Das neutrale Element der Addition ist $N_{\rm A} = \,$ "$0\hspace{0.03cm}1$". |
{Wie lautet das neutrale Element für die Multiplikation? | {Wie lautet das neutrale Element für die Multiplikation? | ||
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− | - Das neutrale Element der Multiplikation ist $N_{\rm M} = \,$ "$0\hspace{0.03cm}0$ | + | - Das neutrale Element der Multiplikation ist $N_{\rm M} = \,$ "$0\hspace{0.03cm}0$", |
− | + Das neutrale Element der Multiplikation ist $N_{\rm M} = \,$ "$0\hspace{0.03cm}1$ | + | + Das neutrale Element der Multiplikation ist $N_{\rm M} = \,$ "$0\hspace{0.03cm}1$". |
{Welche Aussagen gelten hinsichtlich der additiven Inversen? | {Welche Aussagen gelten hinsichtlich der additiven Inversen? | ||
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− | + Es gilt ${\rm Inv_A} ($"$0\hspace{0.03cm}2$ | + | + Es gilt ${\rm Inv_A} ($"$0\hspace{0.03cm}2$") $\, = \, $ "$0\hspace{0.03cm}1$", |
− | + Es gilt ${\rm Inv_A} ($"$1\hspace{0.03cm}1$ | + | + Es gilt ${\rm Inv_A} ($"$1\hspace{0.03cm}1$") $\, = \, $ "$2\hspace{0.03cm}2$", |
− | - Es gilt ${\rm Inv_A} ($"$2\hspace{0.03cm}2$ | + | - Es gilt ${\rm Inv_A} ($"$2\hspace{0.03cm}2$") $\, = \, $ "$0\hspace{0.03cm}0$". |
{Welche der folgenden Aussagen treffen für die Multiplikation zu? | {Welche der folgenden Aussagen treffen für die Multiplikation zu? | ||
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- Es gibt für alle Elemente $z_i ∈ {\rm GF}(P^m)$ eine multiplikative Inverse. | - Es gibt für alle Elemente $z_i ∈ {\rm GF}(P^m)$ eine multiplikative Inverse. | ||
− | + Es gilt ${\rm Inv_M} ($"$1\hspace{0.03cm}2$ | + | + Es gilt ${\rm Inv_M} ($"$1\hspace{0.03cm}2$") $\, = \, $ "$1\hspace{0.03cm}0$". |
− | - Es gilt ${\rm Inv_A} ($"$2\hspace{0.03cm}1$ | + | - Es gilt ${\rm Inv_A} ($"$2\hspace{0.03cm}1$") $\, = \, $ "$1\hspace{0.03cm}2$". |
− | {Gilt ("$2\hspace{0.03cm}0$ | + | {Gilt ("$2\hspace{0.03cm}0$" $\, + \,$ "$1\hspace{0.03cm}2$") $\, \cdot\, $ "$1\hspace{0.03cm}2$" $\, = \, $"$2\hspace{0.03cm}0$" $\, \cdot\, $ "$1\hspace{0.03cm}2$" $\, + \, $"$1\hspace{0.03cm}2$" $\, \cdot\, $ "$1\hspace{0.03cm}2$"? |
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+ Ja. | + Ja. | ||
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'''(2)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: | '''(2)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: | ||
*Das neutrale Element der Addition $(N_{\rm A})$ erfüllt für alle $z_i ∈ {\rm GF}(P^m)$ die Bedingung $z_i + N_{\rm A} = z_i$. | *Das neutrale Element der Addition $(N_{\rm A})$ erfüllt für alle $z_i ∈ {\rm GF}(P^m)$ die Bedingung $z_i + N_{\rm A} = z_i$. | ||
− | *Aus der Additionstabelle kann abgelesen werden, dass "$0\hspace{0.03cm}0$ | + | *Aus der Additionstabelle kann abgelesen werden, dass "$0\hspace{0.03cm}0$" diese Bedingung erfült. |
'''(3)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: | '''(3)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: | ||
*Das neutrale Element der Multiplikation $(N_{\rm M})$ muss stets die Bedingung $z_i \cdot N_{\rm M} = z_i$ erfüllen. | *Das neutrale Element der Multiplikation $(N_{\rm M})$ muss stets die Bedingung $z_i \cdot N_{\rm M} = z_i$ erfüllen. | ||
− | *Aus der Multiplikationstabelle ergibt sich $N_{\rm M} = \, "0\hspace{0.03cm}1 | + | *Aus der Multiplikationstabelle ergibt sich $N_{\rm M} = \, "0\hspace{0.03cm}1"$. |
* In der Polynomschreibweise entspricht dies mit $k_1 = 0$ und $k_0 = 1$: | * In der Polynomschreibweise entspricht dies mit $k_1 = 0$ und $k_0 = 1$: | ||
:$$k_1 \cdot \alpha + k_0 = 1 \hspace{0.05cm}.$$ | :$$k_1 \cdot \alpha + k_0 = 1 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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'''(4)''' Mit der Polynomdarstellung ergeben sich folgende Berechnungen: | '''(4)''' Mit der Polynomdarstellung ergeben sich folgende Berechnungen: | ||
− | :$${\rm Inv_A}("\hspace{-0.05cm}0\hspace{0.03cm}2 | + | :$${\rm Inv_A}("\hspace{-0.05cm}0\hspace{0.03cm}2") \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Inv_A}(2) = (-2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3 = 1 \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"\hspace{-0.05cm}0\hspace{0.03cm}1"\hspace{0.05cm},$$ |
− | :$${\rm Inv_A}("\hspace{-0.05cm}1\hspace{0.03cm}1 | + | :$${\rm Inv_A}("\hspace{-0.05cm}1\hspace{0.03cm}1")\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Inv_A}(\alpha + 1) = \big[(-\alpha) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3\big] + |
− | \big[(-1) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3\big] =2\alpha + 2 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"\hspace{-0.05cm}2\hspace{0.03cm}2 | + | \big[(-1) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3\big] =2\alpha + 2 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"\hspace{-0.05cm}2\hspace{0.03cm}2"\hspace{0.05cm},$$ |
− | :$${\rm Inv_A}("\hspace{-0.05cm}2\hspace{0.03cm}2 | + | :$${\rm Inv_A}("\hspace{-0.05cm}2\hspace{0.03cm}2")\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Inv_A}(2\alpha + 2) = \big[(-2\alpha) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3\big] + |
− | \big[(-2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3\big] =\alpha + 1 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"\hspace{-0.05cm}1\hspace{0.03cm}1 | + | \big[(-2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3\big] =\alpha + 1 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"\hspace{-0.05cm}1\hspace{0.03cm}1"\hspace{0.05cm}.$$ |
Demzufolge sind nur die <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u> richtig. | Demzufolge sind nur die <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u> richtig. | ||
Die Aufgabe kann aber auch ohne Rechnung allein anhand der Additionstabelle gelöst werden. | Die Aufgabe kann aber auch ohne Rechnung allein anhand der Additionstabelle gelöst werden. | ||
− | *Beispielsweise findet man die Inverse zu "$2\hspace{0.03cm}2$ | + | *Beispielsweise findet man die Inverse zu "$2\hspace{0.03cm}2$", indem man in der letzten Zeile die Spalte mit dem Eintrag "$0\hspace{0.03cm}0$" sucht. |
− | *Man findet die mit "$1\hspace{0.03cm}1$ | + | *Man findet die mit "$1\hspace{0.03cm}1$" bezeichnete Spalte und damit ${\rm Inv_A}("2\hspace{0.03cm}2") = \, "1\hspace{0.03cm}1"$. |
− | '''(5)''' Die Multiplikation von $\alpha$ (Vektor "$1\hspace{0.03cm}0$ | + | '''(5)''' Die Multiplikation von $\alpha$ (Vektor "$1\hspace{0.03cm}0$") mit sich selbst ergibt $\alpha^2$. |
− | * Würde der erste Lösungsvorschlag gültig sein, so müsste sich aus der Bedingung $\alpha^2 + 2 = 0$ und damit $\alpha^2 = (-2) \, {\rm mod} \, 3 = 1$ ergeben, also der Vektor "$0\hspace{0.03cm}1$ | + | * Würde der erste Lösungsvorschlag gültig sein, so müsste sich aus der Bedingung $\alpha^2 + 2 = 0$ und damit $\alpha^2 = (-2) \, {\rm mod} \, 3 = 1$ ergeben, also der Vektor "$0\hspace{0.03cm}1$". |
* Geht man vom zweiten Lösungsvorschlag aus, so folgt aus der Bedingung $\alpha^2 + 2\alpha + 2 = 0$ in der Polynomschreibweise | * Geht man vom zweiten Lösungsvorschlag aus, so folgt aus der Bedingung $\alpha^2 + 2\alpha + 2 = 0$ in der Polynomschreibweise | ||
:$$\alpha^2 = [(-2\alpha) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3] + [(-2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3] = \alpha + 1 $$ | :$$\alpha^2 = [(-2\alpha) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3] + [(-2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3] = \alpha + 1 $$ | ||
− | :und damit der Koeffizientenvektor "$1\hspace{0.03cm}1$ | + | :und damit der Koeffizientenvektor "$1\hspace{0.03cm}1$". |
− | In der Multiplikationstabelle findet man in Zeile 4, Spalte 4 genau den Eintrag "$1\hspace{0.03cm}1$ | + | In der Multiplikationstabelle findet man in Zeile 4, Spalte 4 genau den Eintrag "$1\hspace{0.03cm}1$" → Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. |
− | '''(6)''' Die multiplikative Inverse zu "$1\hspace{0.03cm}2$ | + | '''(6)''' Die multiplikative Inverse zu "$1\hspace{0.03cm}2$" findet man in der Zeile 6 der Multiplikationstabelle als diejenige Spalte mit dem Eintrag "$0\hspace{0.03cm}1$" <br>⇒ Der <u>Lösungsvorschlag 2</u> ist also richtig im Gegensatz zu Vorschlag 3. Es gilt nämlich ${\rm Inv_M}("21") = \, "2\hspace{0.03cm}0"$. |
Wir überprüfen diese Ergebnisse unter Berücksichtigung von $\alpha^2 + 2\alpha + 2 = 0$ durch Multiplikationen: | Wir überprüfen diese Ergebnisse unter Berücksichtigung von $\alpha^2 + 2\alpha + 2 = 0$ durch Multiplikationen: | ||
− | :$$"1\hspace{0.03cm}2 | + | :$$"1\hspace{0.03cm}2" \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}"1\hspace{0.03cm}0" \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} (\alpha + 2) \cdot \alpha = \alpha^2 + 2\alpha = (-2\alpha-2) + 2\alpha = -2 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3 = 1 \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} {\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"0\hspace{0.03cm}1" \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm}{\rm multiplikative \hspace{0.15cm}Inverse}\hspace{0.05cm}.$$ |
− | :$$"2\hspace{0.03cm}1 | + | :$$"2\hspace{0.03cm}1" \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}"1\hspace{0.03cm}2" |
"21" \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} "12" \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} (2\alpha + 1) \cdot (\alpha + 2) = 2 \alpha^2 + \alpha + 4\alpha + 2 = 2 \alpha^2 + 5\alpha + 2 = 2 \cdot (-2\alpha - 2) + 5\alpha + 2 = (\alpha - 2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3 = \alpha +1 $$ | "21" \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} "12" \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} (2\alpha + 1) \cdot (\alpha + 2) = 2 \alpha^2 + \alpha + 4\alpha + 2 = 2 \alpha^2 + 5\alpha + 2 = 2 \cdot (-2\alpha - 2) + 5\alpha + 2 = (\alpha - 2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3 = \alpha +1 $$ | ||
− | :$$\hspace{2.725cm} \Rightarrow \ {\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"1\hspace{0.03cm}1 | + | :$$\hspace{2.725cm} \Rightarrow \ {\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"1\hspace{0.03cm}1" \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm}{\rm keine \hspace{0.15cm}multiplikative \hspace{0.15cm}Inverse}\hspace{0.05cm}.$$ |
− | Der Lösungsvorschlag 1 ist deshalb nicht richtig, weil es für "$00$ | + | Der Lösungsvorschlag 1 ist deshalb nicht richtig, weil es für "$00$" keine multiplikative Inverse gibt. |
Revision as of 16:30, 28 May 2021
Es soll ein Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ mit $q = P^m$ Elementen analysiert werden, das durch die nebenstehenden Tabellen definiert ist
- für Addition (gekennzeichnet mit "$+$"), und
- für Multiplikation (gekennzeichnet mit "$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$").
Dieses Galoisfeld ${\rm GF}(q) = \{\hspace{0.1cm}z_0,\hspace{0.1cm} z_1,\hspace{0.05cm} \text{...} , \hspace{0.1cm}z_{q-1}\}$ erfüllt alle Anforderungen an einen endlichen Körper, die im Kapitel Einige Grundlagen der Algebra aufgeführt sind. So werden auch Kommutativ–, Assoziativ– und Distributivgesetz erfüllt.
Weiterhin gibt es
- ein neutrales Element hinsichtlich Addition ⇒ $N_{\rm A}$:
- $$\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q)\text{:} \hspace{0.25cm}z_i + z_j = z_i \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} z_j = N_{\rm A} \hspace{0.25cm}{\rm (Nullelement)} \hspace{0.05cm},$$
- ein neutrales Element hinsichtlich Multiplikation ⇒ $N_{\rm M}$:
- $$\exists \hspace{0.15cm} z_j \in {\rm GF}(q)\text{:} \hspace{0.25cm}z_i \cdot z_j = z_i \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} z_j = N_{\rm M} \hspace{0.25cm}{\rm (Einselement)} \hspace{0.05cm},$$
- für alle Elemente $z_i$ eine additive Inverse ⇒ ${\rm Inv_A}(z_i)$:
- $$\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q)\hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:}$$
- $$z_i + {\rm Inv_A}(z_i) = N_{\rm A} = {\rm "0"}\hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz}\text{:}\hspace{0.15cm} {\rm Inv_A}(z_i) = - z_i \hspace{0.05cm}, $$
- für alle Elemente $z_i$ mit Ausnahme des Nullelements eine multiplikative Inverse ⇒ ${\rm Inv_M}(z_i)$:
- $$\forall \hspace{0.15cm} z_i \in {\rm GF}(q),\hspace{0.15cm} z_i \ne N_{\rm A} \hspace{0.15cm} \exists \hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) \in {\rm GF}(q)\text{:}$$
- $$z_i \cdot {\rm Inv_M}(z_i) = N_{\rm M} = {\rm "1"} \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm kurz}\text{:}\hspace{0.15cm} {\rm Inv_M}(z_i) = z_i^{-1} \hspace{0.05cm}. $$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erweiterungskörper.
- In den Tabellen sind die Elemente $z_0, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.1cm} , \ z_8$ als Koeffizientenvektoren bezeichnet. Zum Beispiel steht "$2\hspace{0.03cm}1$" für "$2 \cdot \alpha + 1$".
Fragebogen
Musterlösung
(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:
- Das neutrale Element der Addition $(N_{\rm A})$ erfüllt für alle $z_i ∈ {\rm GF}(P^m)$ die Bedingung $z_i + N_{\rm A} = z_i$.
- Aus der Additionstabelle kann abgelesen werden, dass "$0\hspace{0.03cm}0$" diese Bedingung erfült.
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:
- Das neutrale Element der Multiplikation $(N_{\rm M})$ muss stets die Bedingung $z_i \cdot N_{\rm M} = z_i$ erfüllen.
- Aus der Multiplikationstabelle ergibt sich $N_{\rm M} = \, "0\hspace{0.03cm}1"$.
- In der Polynomschreibweise entspricht dies mit $k_1 = 0$ und $k_0 = 1$:
- $$k_1 \cdot \alpha + k_0 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
(4) Mit der Polynomdarstellung ergeben sich folgende Berechnungen:
- $${\rm Inv_A}("\hspace{-0.05cm}0\hspace{0.03cm}2") \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Inv_A}(2) = (-2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3 = 1 \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"\hspace{-0.05cm}0\hspace{0.03cm}1"\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Inv_A}("\hspace{-0.05cm}1\hspace{0.03cm}1")\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Inv_A}(\alpha + 1) = \big[(-\alpha) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3\big] + \big[(-1) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3\big] =2\alpha + 2 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"\hspace{-0.05cm}2\hspace{0.03cm}2"\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Inv_A}("\hspace{-0.05cm}2\hspace{0.03cm}2")\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Inv_A}(2\alpha + 2) = \big[(-2\alpha) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3\big] + \big[(-2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3\big] =\alpha + 1 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm}{\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"\hspace{-0.05cm}1\hspace{0.03cm}1"\hspace{0.05cm}.$$
Demzufolge sind nur die beiden ersten Lösungsvorschläge richtig.
Die Aufgabe kann aber auch ohne Rechnung allein anhand der Additionstabelle gelöst werden.
- Beispielsweise findet man die Inverse zu "$2\hspace{0.03cm}2$", indem man in der letzten Zeile die Spalte mit dem Eintrag "$0\hspace{0.03cm}0$" sucht.
- Man findet die mit "$1\hspace{0.03cm}1$" bezeichnete Spalte und damit ${\rm Inv_A}("2\hspace{0.03cm}2") = \, "1\hspace{0.03cm}1"$.
(5) Die Multiplikation von $\alpha$ (Vektor "$1\hspace{0.03cm}0$") mit sich selbst ergibt $\alpha^2$.
- Würde der erste Lösungsvorschlag gültig sein, so müsste sich aus der Bedingung $\alpha^2 + 2 = 0$ und damit $\alpha^2 = (-2) \, {\rm mod} \, 3 = 1$ ergeben, also der Vektor "$0\hspace{0.03cm}1$".
- Geht man vom zweiten Lösungsvorschlag aus, so folgt aus der Bedingung $\alpha^2 + 2\alpha + 2 = 0$ in der Polynomschreibweise
- $$\alpha^2 = [(-2\alpha) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3] + [(-2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3] = \alpha + 1 $$
- und damit der Koeffizientenvektor "$1\hspace{0.03cm}1$".
In der Multiplikationstabelle findet man in Zeile 4, Spalte 4 genau den Eintrag "$1\hspace{0.03cm}1$" → Richtig ist also der Lösungsvorschlag 2.
(6) Die multiplikative Inverse zu "$1\hspace{0.03cm}2$" findet man in der Zeile 6 der Multiplikationstabelle als diejenige Spalte mit dem Eintrag "$0\hspace{0.03cm}1$"
⇒ Der Lösungsvorschlag 2 ist also richtig im Gegensatz zu Vorschlag 3. Es gilt nämlich ${\rm Inv_M}("21") = \, "2\hspace{0.03cm}0"$.
Wir überprüfen diese Ergebnisse unter Berücksichtigung von $\alpha^2 + 2\alpha + 2 = 0$ durch Multiplikationen:
- $$"1\hspace{0.03cm}2" \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}"1\hspace{0.03cm}0" \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} (\alpha + 2) \cdot \alpha = \alpha^2 + 2\alpha = (-2\alpha-2) + 2\alpha = -2 \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3 = 1 \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} {\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"0\hspace{0.03cm}1" \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm}{\rm multiplikative \hspace{0.15cm}Inverse}\hspace{0.05cm}.$$
- $$"2\hspace{0.03cm}1" \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}"1\hspace{0.03cm}2" "21" \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} "12" \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} (2\alpha + 1) \cdot (\alpha + 2) = 2 \alpha^2 + \alpha + 4\alpha + 2 = 2 \alpha^2 + 5\alpha + 2 = 2 \cdot (-2\alpha - 2) + 5\alpha + 2 = (\alpha - 2) \hspace{0.1cm}{\rm mod} \hspace{0.1cm} 3 = \alpha +1 $$
- $$\hspace{2.725cm} \Rightarrow \ {\rm Vektor}\hspace{0.15cm}"1\hspace{0.03cm}1" \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm}{\rm keine \hspace{0.15cm}multiplikative \hspace{0.15cm}Inverse}\hspace{0.05cm}.$$
Der Lösungsvorschlag 1 ist deshalb nicht richtig, weil es für "$00$" keine multiplikative Inverse gibt.
(7) Die beiden Ausdrücke stimmen überein ⇒ JA, wie die folgenden Berechnungen zeigen:
- $$("20" + "12") \ \cdot "12" \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} "02"\cdot "12" \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} "21"\hspace{0.05cm},$$
- $$"20" \cdot "12" + "12" \cdot "12" \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} "02" + "22" \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} "21"\hspace{0.05cm}.$$
Das bedeutet: Das Distributivgesetz wurde zumindest an einem einzigen Beispiel nachgewiesen.