Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 3.12: Cauchy Distribution"

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:Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion sei wie folgt gegeben   ⇒  Cauchyverteilung:
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The probability density function  $\rm (PDF)$  of the Cauchy distribution is given as follows:
 
:$$f_x(x)=\frac{\rm 1}{\rm 2 \pi}\cdot \frac{\rm 1}{\rm 1+ (\it x/\rm 2)^{\rm 2}}.$$
 
:$$f_x(x)=\frac{\rm 1}{\rm 2 \pi}\cdot \frac{\rm 1}{\rm 1+ (\it x/\rm 2)^{\rm 2}}.$$
  
:Aus der Grafik ist der extrem langsame Abfall des WDF–Verlaufs zu erkennen.
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From the graph you can already see the extremely slow decay of the PDF course.
  
:<b>Hinweis</b>: Die theoretischen Hintergründe zur Aufgabe finden Sie auf der Seite Cauchyverteilung im Kapitel 3.7.
 
  
  
===Fragebogen===
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Hints:
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*The exercise belongs to the chapter&nbsp; [[Theory_of_Stochastic_Signals/Further_Distributions|"Further Distributions"]].
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*In particular, reference is made to the section&nbsp;  [[Theory_of_Stochastic_Signals/Further_Distributions#Cauchy_PDF|"Cauchy PDF"]].
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===Questions===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie lautet die Verteilungsfunktion <i>F</i><sub><i>x</i></sub>(<i>r</i>)? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist <i>x</i> betragsm&auml;&szlig;ig kleiner als 2?
+
{What is the cumulative distribution function&nbsp; $\rm (CDF)$&nbsp; $F_x(r)$?&nbsp; What is the probability that&nbsp; $|x|<2$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$Pr (|x| < 2)$ = { 0.5 3% }
+
${\rm Pr} (|x| < 2) \ = \ $ { 50 3% } $ \ \%$
  
  
{Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist <i>x</i> betragsm&auml;&szlig;ig gr&ouml;&szlig;er als 4?
+
{What is the probability that&nbsp; $|x|>4$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$Pr (|x| > 4)$ = { 0.296 3% }
+
${\rm Pr} (|x| > 4) \ = \ $ { 29.6 3% } $ \ \%$
  
  
{Welche der nachfolgenden Aussagen treffen f&uuml;r die Cauchyverteilung zu?
+
{Which of the following statements are true for the Cauchy distribution?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Die Cauchyverteilung besitzt eine unendlich gro&szlig;e Varianz.
+
+ The Cauchy distribution has an infinitely large variance.
+ Die Tschebyscheff-Ungleichung macht hier keinen Sinn.
+
+ The Chebyshev inequality makes no sense here.
+ Eine in der Natur messbare Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist nie cauchyverteilt.
+
+ A random variable that can be measured in nature is never Cauchy distributed.
  
  
 
</quiz>
 
</quiz>
  
===Musterlösung===
+
===Solution===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Vergleicht man die vorgegebene WDF mit der allgemeinen Gleichung im Kapitel 3.7, so erkennt man, dass der Parameter <i>&lambda;</i> = 2 ist. Daraus folgt (nach Integration &uuml;ber die WDF):
+
'''(1)'''&nbsp; Comparing the given PDF with the general equation in the theory part,&nbsp; we see that the parameter is&nbsp; $\lambda= 2$.  
 +
*From this follows&nbsp; (after integration over the PDF):
 
:$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$
 
:$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$
  
:Insbesondere sind
+
*In particular.
:$$F_x ( r = 2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(1)=\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.75,$$
+
:$$F_x ( r = +2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(1)=\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.75,$$
 
:$$F_x ( r = -2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(-1)=\frac{1}{2} - \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.25.$$
 
:$$F_x ( r = -2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(-1)=\frac{1}{2} - \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.25.$$
  
:Daraus ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit als die Differenz zu <u>50%</u>.
+
*The probability we are looking for is given by the difference:  
 +
:$${\rm Pr} (|x| < 2) = 0.75 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Nach dem Ergebnis aus (a) ist <i>F<sub>x</sub></i>(4.0) = 0.5 + 1/&pi; = 0.852. Damit gilt f&uuml;r die &bdquo;komplementäre&rdquo; Wahrscheinlichkeit Pr(<i>x</i> > 4) = 0.148. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist doppelt so gro&szlig;:
 
:$${\rm Pr} (|x| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.296}.$$
 
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;<u>Alle Lösungsvorschläge</u> treffen zu. F&uuml;r die Varianz der Cauchyverteilung gilt nämlich:
+
'''(2)'''&nbsp; According to the result of the subtask&nbsp; '''(1)'''&nbsp; &rArr; &nbsp; $F_x ( r = 4 ) = 0.5 + 1/\pi = 0.852$.
 +
*Thus,&nbsp; for the&nbsp; "complementary"&nbsp; probability:&nbsp; ${\rm Pr} (x > 4)= 0.148$.  
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*For symmetry reasons,&nbsp; the probability we are looking for is twice as large:
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:$${\rm Pr} (|x| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 29.6\%}.$$
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'''(3)'''&nbsp; <u>All proposed solutions</u> are true:
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*For the variance of the Cauchy distribution holds namely:
 
:$$\sigma_x^{\rm 2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}
 
:$$\sigma_x^{\rm 2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}
 
\hspace{-0.15cm}  
 
\hspace{-0.15cm}  
 
\frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$
 
\frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$
 
+
*For large&nbsp; $x$&nbsp; the integrand yields the constant value&nbsp; $4$. Therefore the integral diverges.  
:F&uuml;r gro&szlig;e <i>x</i> liefert der Integrand den konstanten Wert 4. Deshalb divergiert das Integral. Mit <nobr><i>&sigma;<sub>x</sub></i> &#8594; &#8734;</nobr> liefert aber auch die Tschebyscheffsche Ungleichung keine auswertbare Schranke.
+
*Chebyshev's inequality does not provide an evaluable bound,&nbsp; even with&nbsp; $\sigma_x \to \infty$.
 
+
*"Natural" random variables&nbsp; (physically interpretable)&nbsp; can never be cauchy distributed,&nbsp; otherwise they would have an infinite power.
„Nat&uuml;rliche“ Zufallsgr&ouml;&szlig;en (physikalisch interpretierbar) k&ouml;nnen nie cauchyverteilt sein, da sie sonst eine unendlich gro&szlig;e Leistung besitzen m&uuml;ssten. Dagegen unterliegt eine „k&uuml;nstliche“ (oder mathematische) Zufallsgr&ouml;&szlig;e - wie z. B. der Quotient zweier mittelwertfreier Gau&szlig;gr&ouml;&szlig;en - nicht dieser Beschr&auml;nkung.
+
*On the other hand,&nbsp; an&nbsp; "artificial"&nbsp; (or mathematical)&nbsp; random variable  is not subject to this restriction. &nbsp; Example: '''The quotient of two zero mean quantities'''.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^3.7 Weitere Verteilungen^]]
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[[Category:Theory of Stochastic Signals: Exercises|^3.7 Further Distributions^]]

Latest revision as of 14:24, 3 February 2022

Cauchy PDF

The probability density function  $\rm (PDF)$  of the Cauchy distribution is given as follows:

$$f_x(x)=\frac{\rm 1}{\rm 2 \pi}\cdot \frac{\rm 1}{\rm 1+ (\it x/\rm 2)^{\rm 2}}.$$

From the graph you can already see the extremely slow decay of the PDF course.


Hints:



Questions

1

What is the cumulative distribution function  $\rm (CDF)$  $F_x(r)$?  What is the probability that  $|x|<2$?

${\rm Pr} (|x| < 2) \ = \ $

$ \ \%$

2

What is the probability that  $|x|>4$?

${\rm Pr} (|x| > 4) \ = \ $

$ \ \%$

3

Which of the following statements are true for the Cauchy distribution?

The Cauchy distribution has an infinitely large variance.
The Chebyshev inequality makes no sense here.
A random variable that can be measured in nature is never Cauchy distributed.


Solution

(1)  Comparing the given PDF with the general equation in the theory part,  we see that the parameter is  $\lambda= 2$.

  • From this follows  (after integration over the PDF):
$$F_x ( r ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(\it r/\rm 2).$$
  • In particular.
$$F_x ( r = +2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(1)=\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.75,$$
$$F_x ( r = -2 ) =\frac{1}{2} + \frac{\rm 1}{\rm \pi}\cdot \rm arctan(-1)=\frac{1}{2} - \frac{\rm 1}{\rm \pi} \cdot \frac{\rm \pi}{4 }=0.25.$$
  • The probability we are looking for is given by the difference:
$${\rm Pr} (|x| < 2) = 0.75 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline{=50\%}.$$


(2)  According to the result of the subtask  (1)  ⇒   $F_x ( r = 4 ) = 0.5 + 1/\pi = 0.852$.

  • Thus,  for the  "complementary"  probability:  ${\rm Pr} (x > 4)= 0.148$.
  • For symmetry reasons,  the probability we are looking for is twice as large:
$${\rm Pr} (|x| >4) \hspace{0.15cm}\underline{ = 29.6\%}.$$


(3)  All proposed solutions are true:

  • For the variance of the Cauchy distribution holds namely:
$$\sigma_x^{\rm 2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-0.15cm} \frac{\it x^{\rm 2}}{\rm 1+(\it x/\rm 2)^{\rm 2}} \,\,{\rm d}x.$$
  • For large  $x$  the integrand yields the constant value  $4$. Therefore the integral diverges.
  • Chebyshev's inequality does not provide an evaluable bound,  even with  $\sigma_x \to \infty$.
  • "Natural" random variables  (physically interpretable)  can never be cauchy distributed,  otherwise they would have an infinite power.
  • On the other hand,  an  "artificial"  (or mathematical)  random variable is not subject to this restriction.   Example: The quotient of two zero mean quantities.