Exercise 3.1Z: Triangular PDF

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Dreieck-WDF und Kennlinie $y(x)$

Wir betrachten eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ mit der oben skizzierten WDF. Der Minimalwert des Signals ist $x_{\rm min} = -2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Dagegen ist der maximale Wert $x_{\rm max}$ ein freier Parameter, der Werte zwischen $2\hspace{0.05cm}\rm V$ und $4\hspace{0.05cm} \rm V$ annehmen kann.

Die Zufallsgröße $x$ soll hier als der Momentanwert eines Zufallssignals aufgefasst werden. Gibt man dieses Signal $x(t)$ auf einen Amplitudenbegrenzer mit der Kennlinie (siehe untere Skizze) $$y(t)=\left\{\begin{array}{*{4}{c}} -2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} x(t)<-2\hspace{0.05cm} {\rm V} , \\ x(t) & {\rm falls}\hspace{0.1cm}-2\hspace{0.05cm} {\rm V} \le x(t)\le +2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\ +2\hspace{0.05cm} {\rm V} & {\rm falls}\hspace{0.1cm} {\it x}({\it t})>+2\hspace{0.05cm} {\rm V}, \\\end{array}\right.$$

so entsteht das Signal $y(t)$ bzw. die neue Zufallsgröße $y$, die in den beiden letzten Teilfragen (5) und (6) betrachtet wird.

• Für die Teilaufgaben (1) und (2) gelte $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V} $.
• Für alle weiteren Teilaufgaben ist $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} $ zu setzen.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

• Eine Zusammenfassung der hier behandelten Thematik bietet das Lernvideo Wahrscheinlichkeit und WDF.

Fragebogen

1

Es sei $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Berechnen Sie den Parameter $A = f_x(0)$.

$A \ = \ $ $\ \rm 1/V$

2

Weiterhin sei $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist $|x(t)|$ kleiner als $x_{\rm max}/2$?

${\rm Pr}(|\hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}| < 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $

3

Nun gelte $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ zwischen $1\hspace{0.05cm} {\rm V}$ und $3\hspace{0.05cm} {\rm V}$ liegt?

${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V} < x <3\hspace{0.05cm} {\rm V}) \ = \ $

4

Es sei weiterhin $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ genau gleich $2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ist?

${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $

5

Es sei weiterhin $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

	$y$ ist eine kontinuierliche Zufallsgröße.
	$y$ ist eine diskrete Zufallsgröße.
	$y$ ist eine gemischt kontinuierlich-diskrete Zufallsgröße.

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$, dass $y$ genau gleich $2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ist?

${\rm Pr}(y =2\hspace{0.05cm} {\rm V})\ = \ $

Musterlösung

Solution

Höhe und Fläche der Dreieck-WDF

(1)  Die Fläche unter der WDF muss stets den Wert $1$ ergeben. Daraus folgt:

$${A}/{ 2}\cdot {4\hspace{0.5cm}V}=1\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} A \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.5\;{1}/{V}}.$$

(2)  Mit $x_{\rm max} = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ ergibt sich die WDF entsprechend der linken Grafik.

• Die Schraffierung markiert die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
• Man erhält durch einfache geometrische Überlegungen:

$${\rm Pr}(|x|<\rm 1\hspace{0.05cm} V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.75}.$$

(3)  Mit $x_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm} {\rm V}$ erhält man die rechts dargestellte WDF und den Maximalwert $A = 1/(3\hspace{0.05cm} {\rm V})$. Die schraffierte Fläche gibt wieder die gesuchte Wahrscheinlichkeit an, die man zum Beispiel über das flächengleiche Rechteck bestimmen kann:

$${\rm Pr}(1\hspace{0.05cm} {\rm V}< x<3\hspace{0.05cm} {\rm V})=\rm \frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot 2\hspace{0.05cm} {\rm V}=\hspace{0.15cm}\underline{0.333}.$$

(4)  Da $x$ eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt, ist diese Wahrscheinlichkeit definitionsgemäß gleich null   ⇒   ${\rm Pr}(x =2\hspace{0.05cm} {\rm V}) \;\underline {= 0}$.

Gemischt kontinuierlich/diskrete WDF

(5)  Nur die letzte Aussage der vorgegebenen Antworten ist zutreffend:

• Die WDF $f_y(y)$ beinhaltet einen kontinuierlichen Anteil (blau gezeichnet),
• aber auch die (rote) Diracfunktion bei $y = 2\hspace{0.05cm} {\rm V}$ mit dem Gewicht ${\rm Pr}(x >2\hspace{0.05cm} {\rm V})$.

(6)  Nebenstehend ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsgröße $y$ dargestellt. Aus der oberen rechten Abbildung zur Teilaufgabe (3) erkennt man den Zusammenhang:

$${\rm Pr}( y=2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = {\rm Pr}( x> 2\hspace{0.05cm} {\rm V}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6\hspace{0.05cm} {\rm V}}\cdot2{\hspace{0.05cm} {\rm V}} = {1}/{6}\hspace{0.15cm}\underline{=0.167}.$$