Exercise 4.11Z: C Program "acf2"

Sie sehen rechts das C-Programm „akf2” zur Berechnung der diskreten AKF-Werte $\varphi_x(k)$ mit Index $k = 0$, ... , $l$. Im Gegensatz zum Programm „akf1” aus Aufgabe 4.11 wird hier der im Theorieteil beschriebene Algorithmus direkt angewendet. Dabei ist zu beachten:

Der an das Programm übergebene Long-Wert sei hier $l=10$.
Die berechneten AKF-Werte $\varphi_x(0)$, ... , $\varphi_x(10)$ werden mit dem Float-Feld $\rm AKF[ \ ]$ an das Hauptprogramm zurückgegeben. In den Zeilen 7 und 8 wird dieses Feld mit Nullen vorbelegt.
Die Zufallsgröße $x( \ )$ ist als Float-Funktion in Zeile 4 definiert, ebenso ein Hilfsfeld $H[10000 ]$, in das die $N = 10000$ Abtastwerte $x_\nu$ eingetragen werden (Zeile 9 und 10).
Die Bezeichnungen der Laufvariablen in Zeile 6 sind an den angegebenen Algorithmus angepasst.
Die eigentliche AKF-Berechnung erfolgt ab Zeile 11. Dieser Programmteil ist im Programmcode rot gekennzeichnet.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Autokorrelationsfunktion.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Numerische AKF-Ermittlung.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

$S_{k=0} \ = $

$S_{k=10} \ = $

	Die Rechenzeit steigt linear mit $l + 1$, also mit der Anzahl der zu berechnenden AKF-Werte.
	Die Rechenzeit nimmt mit der Anzahl $N$ der berücksichtigten Abtastwerte quadratisch zu.
	Die Berechnung wird mit steigendem $N$ genauer.
	Wird eine Floatvariable mit $\rm 4 \ Byte$ dargestellt, so benötigt „akf2” mindestens $4 \cdot N$ Byte Speicherplatz.

	Je stärker die inneren statistischen Bindungen des Prozesses sind, desto ungenauer ist bei gegebenem $N$ das AKF-Ergebnis.
	Je stärker die inneren statistischen Bindungen des Prozesses sind, desto genauer ist bei gegebenem $N$ das AKF-Ergebnis.
	Besitzt der Prozess statistische Bindungen, so sind die Fehler der numerischen AKF-Berechnung ebenfalls korreliert. Beispiel:

Musterlösung

Solution

1. Zur Berechnung des AKF-Wertes φ_x(0) wird über N = 10000 Summanden gemittelt, für φ_x(10) nur über N – l = 9990.

2. Die Rechenzeit steigt mit N und l + 1 näherungsweise linear an, wie aus der rot hervorgehobenen AKF-Berechnung hervorgeht. Die Rechenzeit für die weiteren Programmteile kann demgegenüber vernachlässigt werden. Natürlich wird die Berechnung mit steigendem N auch genauer. Dies geht hier – im Gegensatz zum Programm „akf1” von Aufgabe A4.11 – allerdings auf Kosten des erforderlichen Speicherbedarfs. Da jede Float-Variable genau vier Byte beansprucht, benötigt alleine das Hilfsfeld H[10000] einen Speicher von 40 kByte. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4.

3. Je stärker die statistischen Bindungen innerhalb des Zufallsprozesses sind, desto ungenauer ist bei gegebenem N die AKF-Berechnung. Diesen Sachverhalt kann man sich beispielsweise anhand der Leistungsberechnung (AKF-Wert an der Stelle k = 0) verdeutlichen: Sind alle N Abtastwerte statistisch unabhängig, so liefern alle Beiträge die maximale Information über den AKF–Wert φ_x(k = 0).

Bestehen jedoch statistische Bindungen zwischen x_ν und x_ν+1, nicht jedoch zwischen x_ν und x_ν+2, so liefern nur die Hälfte aller Abtastwerte die volle Information über φ_x(k = 0) und alle anderen nur eingeschränkte Informationen. Dieser auf Korrelationen beruhende Informationsverlust kann in diesem Beispiel nur durch eine Verdopplung von N ausgeglichen werden.

Die letzte Aussage trifft ebenfalls zu, wie im Kapitel 4.4 auf der Seite Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung im Theorieteil ausführlich erläutert wird. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 3.