Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.11Z: OOK and BPSK once again"
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:$$\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\cdot \int_{\it | :$$\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\cdot \int_{\it | ||
x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u$$ | x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u$$ | ||
Revision as of 11:47, 8 November 2017
Fehlerwahrscheinlichkeiten von OOK und BPSK
Hier werden die Fehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm S}$ von den digitalen Modulationsverfahren OOK und BPSK ohne Herleitung angegeben. Beispielsweise erhält man mit der sogenannten Q–Funktion
- $$\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\cdot \int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u$$
für den AWGN–Kanal – gekennzeichnet durch $E_{\rm S}/N_0$ – und weiteren optimalen Voraussetzungen (zum Beispiel kohärente Demodulation)
- für On–Off–Keying (OOK), oft auch Amplitude Shift Keying (2–ASK) genannt:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm S}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm},$$
- und für Binary Phase Shift Keying (BPSK):
- $$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm S}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
Diese Fehlerwahrscheinlichkeiten sind in der Grafik dargestellt. Für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ erhält man beispielsweise entsprechend den exakten Funktionen:
- $$p_{\rm S} = 7.83 \cdot 10^{-4}\,\,{\rm (OOK)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_{\rm S} = 3.87 \cdot 10^{-6}\,\,{\rm (BPSK)}\hspace{0.05cm}.$$
Um bei BPSK $p_{\rm S} = 10^{\rm –5}$ zu erreichen, muss $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 ≥ 9.6 \ \rm dB$ sein.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation des vorliegenden Buches.
- Die Herleitungen finden Sie auch im Kapitel Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation.
- Für die numerischen Auswertungen können Sie die folgende obere Schranke verwenden:
- $${\rm Q}(x) \le \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2} \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
