Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 4.11Z: OOK and BPSK once again"
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Hier werden die Fehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm S}$ von den digitalen Modulationsverfahren OOK und BPSK ohne Herleitung angegeben. Beispielsweise erhält man mit der sogenannten Q–Funktion | Hier werden die Fehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm S}$ von den digitalen Modulationsverfahren OOK und BPSK ohne Herleitung angegeben. Beispielsweise erhält man mit der sogenannten Q–Funktion | ||
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Diese Fehlerwahrscheinlichkeiten sind in der Grafik dargestellt. Für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ erhält man beispielsweise entsprechend den exakten Funktionen: | Diese Fehlerwahrscheinlichkeiten sind in der Grafik dargestellt. Für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ erhält man beispielsweise entsprechend den exakten Funktionen: | ||
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Um bei BPSK $p_{\rm S} = 10^{\rm –5}$ zu erreichen, muss $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 ≥ 9.6 \ \rm dB$ sein. | Um bei BPSK $p_{\rm S} = 10^{\rm –5}$ zu erreichen, muss $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 ≥ 9.6 \ \rm dB$ sein. | ||
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* Die Herleitungen finden Sie auch im Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_digitale_Modulation_%E2%80%93_Koh%C3%A4rente_Demodulation| Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]]. | * Die Herleitungen finden Sie auch im Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_digitale_Modulation_%E2%80%93_Koh%C3%A4rente_Demodulation| Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]]. | ||
| − | * | + | * Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. |
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| + | :$${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2} | ||
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| − | {Berechnen Sie die OOK–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ unter Verwendung der oberen Schranke. | + | {Berechnen Sie die '''OOK'''–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ unter Verwendung der oberen Schranke. |
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| − | ${\rm | + | $p_{\rm S}\ = \ $ { 85 3% } $\ \cdot 10^{\rm –5}$ |
| − | {Wie groß ist die BPSK–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$? | + | {Wie groß ist die '''BPSK'''–Bitfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$? |
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| − | ${\rm | + | $p_{\rm S}\ = \ $ { 0.405 3% } $\ \cdot 10^{\rm –5}$ |
| − | {Geben Sie für | + | {Geben Sie für '''OOK''' den minimalen Wert für $E_{\rm S}/N_0$ (in $\rm dB$) an, damit gerade noch die Bitehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S} = 10^{\rm –5}$ erreicht wird. |
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| − | $ | + | $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 \ = \ $ { 12.6 3% } $\ \rm dB$ |
</quiz> | </quiz> | ||
Revision as of 18:40, 22 November 2017
Fehlerwahrscheinlichkeiten von On–Off–Keying (OOK) und Binary Phase Shift Keying (BPSK)
Hier werden die Fehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm S}$ von den digitalen Modulationsverfahren OOK und BPSK ohne Herleitung angegeben. Beispielsweise erhält man mit der sogenannten Q–Funktion
- $${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\cdot \int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u$$
für den AWGN–Kanal – gekennzeichnet durch $E_{\rm S}/N_0$ – und weiteren optimalen Voraussetzungen (zum Beispiel kohärente Demodulation)
- für On–Off–Keying (OOK), oft auch Amplitude Shift Keying (2–ASK) genannt:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm S}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm},$$
- für Binary Phase Shift Keying (BPSK):
- $$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm S}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
Diese Fehlerwahrscheinlichkeiten sind in der Grafik dargestellt. Für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ erhält man beispielsweise entsprechend den exakten Funktionen:
- $$p_{\rm S} = 7.83 \cdot 10^{-4}\,\,{\rm (OOK)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} p_{\rm S} = 3.87 \cdot 10^{-6}\,\,{\rm (BPSK)}\hspace{0.05cm}.$$
Um bei BPSK $p_{\rm S} = 10^{\rm –5}$ zu erreichen, muss $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 ≥ 9.6 \ \rm dB$ sein.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation.
- Die Herleitungen finden Sie auch im Kapitel Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Verwenden Sie für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion die folgende Näherung:
- $${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2} \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Aus $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ folgt $E_{\rm S}/N_0 = 10$ und damit
- $$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{10} \right ) \approx \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 20\pi} }\cdot \rm e^{-5 } \underline{=8.5 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$
Der tatsächliche Wert gemäß dem Angabenblatt lautet $7.83 \cdot 10^{\rm –4}$. Die angegebene Gleichung ist also tatsächlich eine obere Schranke für ${\rm Q}(x)$. Der relative Fehler bei Verwendung dieser Näherung anstelle der exakten Funktion ${\rm Q}(x)$ ist in diesem Fall kleiner als $10\%$.
(2) Bei BPSK lautet die entsprechende Gleichung:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{20} \right ) \approx \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 40\pi} }\cdot \rm e^{-10 } \underline{=4.05 \cdot 10^{-6}}\hspace{0.05cm}.$$
Nun beträgt der relative Fehler bei Verwendung der Näherung nur noch $5\%$. Allgemein gilt: Je kleiner die Fehlerwahrscheinlichkeit ist, um so besser ist die Näherung.
(3) Bei BPSK ist hierfür laut Angabe ein (logarithmierter) Wert von $9.6 \ \rm dB$ erforderlich. Bei der OOK muss der logarithmierte Wert um etwa $3 \ \rm dB$ erhöht werden ⇒ $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_{\rm 0 \ \underline {\approx 12.6 \ \rm dB}}$.
