Aufgaben:Exercise 4.16: Comparison between Binary PSK and Binary FSK

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Bitfehlerwahrscheinlichkeitskurven
von binärer PSK und binärer FSK

Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für die binäre   FSK–Modulation  bei

• kohärenter Demodulation  bzw.
• inkohärenter Demodulation

im Vergleich zur  binären Phasenmodulation  (BPSK).

Es wird stets Orthogonalität vorausgesetzt. Bei kohärenter Demodulation kann hierbei der Modulationsindex ein Vielfaches von  $h = 0.5$  sein, so dass die mittlere Kurve auch für Minimum Shift Keying (MSK) gültig ist. Dagegen muss bei nichtkohärenter Demodulation einer FSK der Modulationsindex ein Vielfaches von  $h = 1$  sein.

Diesem Systemvergleich liegt wieder der  AWGN–Kanal  zugrunde, gekennzeichnet durch das Verhältnis  $E_{\rm B}/N_0$. Die Gleichungen für die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten lauten bei

• Binary Phase Shift Keying (BPSK):

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ),$$

• Binary Frequency Shift Keying (BFSK) mit kohärenter Demodulation:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B}}{2 \cdot N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ),$$

• Binary Frequency Shift Keying (BFSK) mit inkohärenter Demodulation:

$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$

In  Aufgabe 4.8  wurde gezeigt, dass bei der BPSK das logarithmierte Verhältnis  $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0$  mindestens  $9.6 \ \rm dB$  betragen muss, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit den Wert  $p_{\rm B} = 10^{–5}$  nicht übersteigt.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Nichtlineare digitale Modulation.
• Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel  Lineare digitale Modulation.

• Verwenden Sie die Näherung  $\lg(2) ≈ 0.3$.

Fragebogen

1

Welches  $E_{\rm B}/N_0$  (in dB) ist bei MSK und kohärenter Demodulation erforderlich, damit  $p_{\rm B} \le 10^{–5}$  zu erfüllen ist?

$10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ $\ \rm dB$

2

Sind die folgenden Aussagen richtig:   Das gleiche Ergebnis erhält man bei

	einer FSK mit Modulationsindex  $h = 0.7$,
	einer FSK mit Modulationsindex  $h = 1$?

3

Welches  $E_{\rm B}/N_0$  (in dB) ist bei FSK mit  $h = 1$  und inkohärenter Demodulation erforderlich, damit  $p_{\rm B} \le 10^{–5}$  zu erfüllen ist?

$10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 \ = \ $ $\ \rm dB$

4

Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  ergibt sich bei inkohärenter FSK–Demodulation für  $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$?

$p_{\rm B} \ = \ $ $\ \cdot 10^{-4}$

Musterlösung

Solution

(1)  Ein Vergleich der beiden ersten Gleichungen auf der Angabenseite macht deutlich, dass bei der MSK mit kohärenter Demodulation das AWGN–Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$ verdoppelt werden muss, damit die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei BPSK erreicht wird.

In anderen Worten: Die kohärente BFSK–Kurve liegt um $10 · \lg (2) ≈ 3 \ \rm dB$ rechts von der BPSK–Kurve. Um $p_{\rm B} \le 10^{–5}$ zu garantieren, muss daher gelten:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm}{E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 9.6\,\,{\rm dB} + 3\,\,{\rm dB} = \underline{12.6\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

• Die angegebene Gleichung gilt nicht nur für die MSK (diese ist eine FSK mit $h = 0.5$), sondern für jede Form von orthogonaler FSK.
• Eine solche liegt vor, wenn der Modulationsindex $h$ ein ganzzahliges Vielfaches von $0.5$ ist, zum Beispiel für $h = 1$.
• Mit $h = 0.7$ ergibt sich keine orthogonale FSK. Es kann aber gezeigt werden, dass sich für $h = 0.7$ sogar eine kleinere Bitfehlerwahrscheinlichkeit als bei orthogonaler FSK ergibt.
• Mit $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$ erreicht man hier sogar $p_{\rm B} ≈ 10^{–6}$, also eine Verbesserung um eine Zehnerpotenz.

(3)  Aus der Umkehrfunktion der angegebenen Gleichung erhält man:

$$\frac{E_{\rm B}} {2 \cdot N_{\rm 0}}= {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{1}{2 p_{\rm B}}= {\rm ln}(50000)\approx 10.82 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 21.64 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm}{E_{\rm B}}/ {N_{\rm 0}}\approx \underline{13.4\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

(4)  Aus $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$ folgt:

$${E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 10^{1.26} \approx 16.8 \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm} ({E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}})/2 \approx 8.4 \hspace{0.25cm} \Rightarrow \hspace{0.25cm} p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- 8.4} \approx \underline{1.12 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$

Das heißt: Bei gleichem $E_{\rm B}/N_0$ wird die Fehlerwahrscheinlichkeit bei inkohärenter Demodulation gegenüber kohärenter Demodulation (siehe Teilaufgabe 1) um etwa den Faktor 11 vergrößert.