Exercise 4.Ten: QPSK Channel Capacity

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Gegeben sind AWGN–Kanalkapazitätskurven für die beiden Modulationsverfahren

Das obere Diagramm zeigt die Abhängigkeit von 10 · lg (EB/N0) in dB, wobei EB die „Energie pro Informationsbit” angibt. Für große EB/N0–Werte liefert die BPSK–Kurve die maximale Coderate R ≈ 1, während für die QPSK–Kurve R ≈ 2 abgelesen werden kann.

Die Kapazitätskurven für digitalen Eingang (jeweils mit der Einheit „bit/Symbol”),

  • grüne Kurve CBPSK(EB/N0) und
  • blaue Kurve CQPSK(EB/N0)

sollen in der Teilaufgabe (c) in Bezug gesetzt werden zu zwei Shannon–Grenzkurven, die jeweils für eine Gaußsche Eingangsverteilung gültig sind: $$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2\hspace{0.05cm}R\hspace{0.05cm} E_{\rm B}}{N_0}) ,$$ $$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R\hspace{0.05cm} E_{\rm B}}{N_0}) .$$ Die beiden Kurven geben gleichzeitig die maximale Coderate R an, mit der durch lange Kanalcodes eine fehlerfreie Übertragung entsprechend dem Kanalcodierungstheorem möglich ist. Natürlich gelten für C1(EB/N0) bzw. C2(EB/N0) unterschiedliche Randbedingungen. Welche, sollen Sie herausfinden.

Die Abszisse im unteren Diagramm ist dagegen 10 · lg (ES/N0) mit der „Energie pro Symbol” (ES). Die beiden Endwerte bleiben gegenüber oben unverändert.

Hinweis :


Fragebogen

1

Unterscheiden sich QPSK und 4–QAM aus informationstechnischer Sicht?

Ja.
Nein.

2

Wie lässt sich CQPSK(EB/N0) aus CBPSK(EB/N0) konstruieren?

Durch Verdopplung: CQPSK(EB/N0)  =  2 · CBPSK(EB/N0).
Zusätzlich durch eine Verschiebung nach rechts.
Zusätzlich durch eine Verschiebung nach links.
CQPSK(EB/N0) kann man aus CBPSK(EB/N0) nicht konstruieren.

3

Welcher Zusammenhang besteht zu den Shannon–Grenzkurven?

Es gilt CBPSK(EB/N0) ≤ C1(EB/N0).
Es gilt CBPSK(EB/N0) ≤ C2(EB/N0).
Es gilt CQPSK(EB/N0) ≤ C1(EB/N0).
Es gilt CQPSK(EB/N0) ≤ C2(EB/N0).

4

Wie lässt sich CQPSK(ES/N0) aus CBPSK(ES/N0) konstruieren?

Durch Verdopplung: CQPSK (ES/N0)  =  2 · CBPSK(ES/N0).
Zusätzlich durch eine Verschiebung nach rechts.
Zusätzlich durch eine Verschiebung nach links.
CQPSK(ES/N0) kann man aus CBPSK(ES/N0) nicht konstruieren.


Musterlösung

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(1)  Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellationen für

  • QPSK (Quaternary Phase Shift Keying), und
  • 4–QAM (vierstufige Quadraturamplitudenmodulation).

Letztere wird auch als π/4–QPSK bezeichnet. Beide sind aus informationstechnischer Sicht identisch ⇒ Antwort NEIN.

(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1: Die 4–QAM kann man als zwei BPSK–Konstellationen in orthogonalen Ebenen betrachten, wobei die Energie pro Informationsbit (EB) in beiden Fällen gleich ist. Da entsprechend Teilaufgabe (a) die 4–QAM mit der QSPK identisch ist, gilt tatsächlich CQPSK(EB/N0) = 2 · CBPSK(EB/N0).



(3)  In der nebenstehenden Grafik sind die beiden angegebenen Shannon–Grenzkurven zusammen mit CBPSK(EB/N0) und CQPSK(EB/N0) skizziert:

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$$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2\hspace{0.05cm}R\hspace{0.05cm} E_{\rm B}}{N_0}) ,$$ $$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R\hspace{0.05cm} E_{\rm B}}{N_0}) .$$ Die grün–gestrichelte Kurve C1(EB/N0) gilt für den AWGN–Kanal mit gaußverteiltem Eingang. Für die Coderate R = 1 sind nach dieser Kurve 10 · lg(EB/N0) = 1.76 dB erforderlich. Für R = 2 benötigt man 10 · lg(EB/N0) = 5.74 dB.

Die blau–gestrichelte Kurve C2(EB/N0) gibt die Shannon–Grenze für K = 2 parallele Gaußkanäle an.
Hier benötigt man 10 · lg(EB/N0) = 0 dB für R = 1 bzw. 10 · lg(EB/N0) = 1.76 dB für R = 2.

Man erkennt aus der obigen Skizze:

  • Die eindimensionale BPSK liegt im gesamten Bereich unterhalb von C1 und damit natürlich auch unterhalb von C2 > C1.
  • Die zweidimensionale QPSK liegt erwartungsgemäß unter der für sie relevanten Grenzkurve C2. Sie liegt aber im unteren Bereich (bis nahezu 6 dB) oberhalb von C1.

Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4.


(4)  Die CQPSK(ES/N0)–Kurve kann ebenfalls aus CBPSK(ES/N0) konstruiert werden und zwar

  • durch Verdopplung

$$C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} 2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) ,$$

  • sowie durch eine Verschiebung um 3 dB nach rechts:

$$C_{\rm QPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0} - 3\,{\rm dB}) .$$ Richtig sind die beiden ersten Lösungsvorschläge, wobei der zweite Vorschlag berücksichtigt, dass bei QPSK die Energie in einer Dimension nur ES/2 beträgt.