Difference between revisions of "Aufgaben:Exercise 5.5: ACF-equivalent Filters"
From LNTwww
(Die Seite wurde neu angelegt: „ {{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Erzeugung vorgegebener AKF-Eigenschaften }} right| :Wir betrachten d…“) |
|||
Line 94: | Line 94: | ||
− | [[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^5.3 | + | [[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^5.3 Filteranpassung an AKF^]] |
Revision as of 17:59, 5 March 2017
- Wir betrachten die beiden skizzierten digitalen Filter:
- Die Eingangswerte 〈xν〉 sind in beiden Fällen jeweils statistisch voneinander unabhängig und gleichverteilt zwischen –1 und +1.
- Daraus folgt direkt für den Mittelwert und die Varianz:
- $$m_x = 0,\quad \sigma _x^2 = {1}/{3}.$$
- Die beiden Verzögerungszeiten von Filter 1 sind jeweils gleich TA = 1 μs. Die Verzögerungen von Filter 2 sind doppelt so lang.
- Die Koeffizienten a0 und a1 sollen so eingestellt werden, dass die Autokorrelationsfunktionen (AKF) von 〈yν〉 und von 〈zν〉 vollständig übereinstimmen.Wählen Sie bitte bei mehreren Lösungen diejenige mit |a0| > |a1|.
- Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die Theorieteil von Kapitel 5.3.
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Es ist ein nichtrekursives Filter zweiter Ordnung mit den Koeffizienten α0 = –1, α1 = 0.707 und α2 = 1. Richtig sind somit die beiden ersten Lösungsvorschläge.
- 2. Die Varianz der Ausgangswerte ist gleich dem AKF-Wert für k = 0. Für diesen erhält man:
- $$\varphi _y (0) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 ^2 + \alpha _1 ^2 + \alpha _2 ^2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( {1 + {1}/{2} + 1} \right) = 0.833.$$
- Damit ergibt sich für die Streuung (für den Effektivwert):
- $$\sigma _y = \sqrt {\varphi _y (0)} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.913}.$$
- Hinweis: Die Koeffizienten von Filter 1 sind hier mit α0, α1, α2 („alphas”) bezeichnet.
- 3. Diese beiden AKF-Werte können wie folgt berechnet werden:
- $$\varphi _y ( {T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 \cdot \alpha _1 + \alpha _1 \cdot \alpha _2 } \right) = {1}/{3} \cdot \left( { - 1 \cdot 0.707 + 0.707 \cdot 1} \right) \hspace{0.15cm} \underline{= 0},$$
- $$\varphi _y ( {2T_{\rm A} } ) = \sigma _x ^2 \cdot \left( {\alpha _0 \cdot \alpha _2 } \right) \hspace{0.15cm} \underline{ = - {1}/{3}}.$$
- 4. Da φy(TA) = 0 ist, kann bei geeigneter Wahl von a0 und a1 erreicht werden, dass die AKF am Ausgang von Filter 2 identisch ist mit der unter Punkt c) berechneten AKF. Mit TA' = 2 · TA gilt:
- $$\varphi _z (0) = {1}/{3} \cdot \left( {a_0 ^2 + a_1 ^2 } \right) = 0.833\quad \Rightarrow \quad a_0 ^2 + a_1 ^2 = 2.5, $$
- $$\varphi _z( {T_A '} ) = {1}/{3}\left( {a_0 \cdot a_1 } \right) = - {1}/{3}\quad \;\;\, \Rightarrow \quad a_0 \cdot a_1 = - 1.$$
- Mit der Hilfsgröße H = a02 führt dies zu der Bestimmungsgleichung
- $$H + {1}/{H} = 2.5\quad \Rightarrow \quad H^2 - 2.5 \cdot H + 1 = 0$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{1/2} = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm \sqrt {2.5^2 - 4} } \right) = {1}/{2} \cdot \left( {2.5 \pm 1.5} \right).$$
- Die beiden Lösungen sind H1 = 2 und H2 = 0.5. Daraus erhält man vier mögliche Lösungen:
- $$a_0 = \sqrt 2 ,\quad \;\;\, a_1 = - {1}/{\sqrt 2 }, \hspace{2cm} a_0 = - \sqrt 2 ,\quad a_1 = {1}/{\sqrt 2 },$$
- $$a_0 = {1}/{\sqrt 2 },\quad \;\,\, a_1 = - \sqrt 2 , \hspace{2cm} a_0 = - {1}/{\sqrt 2 },\quad a_1 = \sqrt 2 .$$
- Bei den beiden letzten Lösungspaaren ist die Bedingung |a0| > |a1| nicht erfüllt. Bei den beiden oberen Gleichungen gilt dagegen in beiden Fällen:
- $$ \hspace{0.15cm} \underline{a_1 /a_0 = - 0.5}.$$
- 5. Im allgemeinen (auch bei gleichverteilter Eingangsgröße x) sind die Dichtefunktionen fy(y) und fz(z) unterschiedlich. fz(z) ergibt sich aus der Faltung zweier verschieden breiter Rechtecke; sie ist also trapezförmig. Zur Berechnung von fy(y) müssen drei Rechtecke miteinander gefaltet werden.
- Bei Gaußscher Eingangsgröße x sind auch y und z gaußverteilt, und wegen my = mz und σy = σz gilt auch fz(z) = fy(y). Richtig sind demnach die Lösungsvorschläge 2 und 3.