Exercise 5.7: OFDM Transmitter using IDFT

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Block diagram of the IDFT

In this exercise, we take a closer look at an OFDM transmitter implemented using the  Inverse Discrete Fourier Transform  $\rm (IDFT)$.    Thereby it is valid:

• The system has  $N = 4$  carriers.
• The frame duration is  $T_{\ \rm R} = 0.25 \ \rm ms$.
• A guard interval is not used.
• In each frame  $16$  bits are transmitted.
• The upper right diagram shows the block "IDFT" of the OFDM transmitter structure.
• Here, four bits each result in a complex symbol according to the  $\rm16–QAM$ signal space allocation sketched below left.

Suggested 16–QAM signal space allocation

Notes:

• The task belongs to the chapter  Implementation of OFDM Systems.
• Reference is also made to the chapter  Diskrete Fouriertransformation.

• The equation of the IDFT is with  $ν = 0$, ... , $N–1$:

$$\quad d_{\nu ,k} = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {D_{\mu ,k} \cdot w^{ - \nu \cdot \mu } } \quad {\rm{mit}} \quad w = {\rm{e}}^{ - {\rm{j}} {\rm{2\pi}}/N}.$$

Questions

1

Geben Sie die maximale Datenbitrate des Systems an.

$R_{\rm B} \ = \ $ $\ \rm kbit/s$

2

Geben Sie für die gegebene 16–QAM–Signalraumzuordnung die komplexen Trägerkoeffizienten  $D_\mu$  für die folgenden Eingangsbitfolgen an.

${\rm Re}\big [D_0 \big ] \ = \ $ $\ \ \text{für die Bitfolge 1111}$

${\rm Im}\big [D_0\big ] \ = \ $

${\rm Re}\big [D_1\big ] \ = \ $ $\ \ \text{für die Bitfolge 0111}$

${\rm Im}\big [D_1\big ] \ = \ $

${\rm Re}\big [D_2\big ] \ = \ $ $\ \ \text{für die Bitfolge 1000}$

${\rm Im}\big [D_2\big ] \ = \ $

${\rm Re}\big [D_3\big ] \ = \ $ $\ \ \text{für die Bitfolge 0000}$

${\rm Im}\big [D_3\big ] \ = \ $

3

Berechnen Sie daraus die diskreten Zeitbereichswerte  $d_\nu$  innerhalb des Rahmens.

${\rm Re}\big [d_0\big ] \ = \ $

${\rm Im}\big [d_0\big ] \ = \ $

${\rm Re}\big [d_1\big ] \ = \ $

${\rm Im}\big [d_1\big ] \ = \ $

${\rm Re}\big [d_2\big ] \ = \ $

${\rm Im}\big [d_2\big ] \ = \ $

${\rm Re}\big [d_3\big ] \ = \ $

${\rm Im}\big [d_3\big ] \ = \ $

4

Welche Aussagen sind für den Crest–Faktor zutreffend, der das Verhältnis von Spitzenwert zu Effektivwert einer Wechselgröße bezeichnet?

	Der Crest–Faktor ist bei einem OFDM–System eher gering.
	Der Crest–Faktor kann bei OFDM–Systemen sehr groß werden.
	Ein großer Crest–Faktor kann zu Realisierungsproblemen führen.

Musterlösung

Solution

(1)  Da hier kein Guard–Intervall berücksichtigt wird, ist die Symboldauer  $T$  gleich der Rahmendauer  $T_{\rm{R}} = 0.25 \ \rm ms$.

• Bei  $N = 4$  Trägern und  $\rm 16–QAM$  gilt für die Bitrate am Eingang:

$$R_{\rm{B}} = \frac{1}{T_{\rm{B}}} = \frac{4 \cdot {\rm{log}_2}\hspace{0.08cm}(16)}{T} = \frac{4 \cdot 4}{0.25\,\,{\rm ms}}\hspace{0.15cm}\underline {= 64\,\,{\rm kbit/s}}.$$

(2)  Aus der Signalraumzuordnung folgt für die Trägerkoeffizienten  $($auf den Index  $k$  wird verzichtet$)$:

$${\rm{Bitfolge}}\hspace{0.2cm}1111:\hspace{0.5cm} D_0 = -1 - {\rm{j}}\hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Re}[D_0]\hspace{0.15cm}\underline{=-1},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[D_0]\hspace{0.15cm}\underline{=-1},$$

$${\rm{Bitfolge}}\hspace{0.2cm}0111:\hspace{0.5cm} D_1 = -1 + {\rm{j}}\hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Re}[D_1]\hspace{0.15cm}\underline{=-1},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[D_1]\hspace{0.15cm}\underline{=+1},$$

$${\rm{Bitfolge}}\hspace{0.2cm}1000:\hspace{0.5cm} D_2 = +3 - 3{\rm{j}},\hspace{0.15cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Re}[D_2]\hspace{0.15cm}\underline{=+3},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[D_2]\hspace{0.15cm}\underline{=-3},$$

$${\rm{Bitfolge}}\hspace{0.2cm}0000:\hspace{0.5cm} D_3 = +3 + 3{\rm{j}}\hspace{0.2cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Re}[D_3]\hspace{0.15cm}\underline{=+3},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[D_3]\hspace{0.15cm}\underline{=+3}.$$

(3)  Die angegebene IDFT–Gleichung lautet mit  $N = 4$:

$$d_{\nu } = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {D_{\mu } \cdot {\rm{e}}^{ \hspace{0.04cm} {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} \pi/2 \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} \mu } } .$$

• Daraus erhält man für  $ν = 0$, ... , $3$:

$$d_0 = D_0 + D_1 +D_2 +D_3 = 4 \hspace{2.9cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm}{\rm Re}[d_0]\hspace{0.15cm}\underline{=4},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[d_0]\hspace{0.15cm}\underline{=0},$$

$$d_1 = D_0 + {\rm{j}} \cdot D_1 - D_2 -{\rm{j}} \cdot D_3 = -2 + 2 \cdot {\rm{j}}\hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm}{\rm Re}[d_1]\hspace{0.15cm}\underline{=-2},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[d_1]\hspace{0.15cm}\underline{=+2},$$

$$d_2 = D_0 - D_1 + D_2 - D_3 = -8 \cdot {\rm{j}}\hspace{2.1cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm}{\rm Re}[d_2]\hspace{0.15cm}\underline{=0},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[d_2]\hspace{0.15cm}\underline{=-8},$$

$$d_3 = D_0 - {\rm{j}} \cdot D_1 - D_2 +{\rm{j}} \cdot D_3 = -6 + 6 \cdot {\rm{j}}\hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm}{\rm Re}[d_3]\hspace{0.15cm}\underline{=-6},\hspace{0.2cm}{\rm Im}[d_3]\hspace{0.15cm}\underline{=+6}.$$

(4)  Richtig sind die beiden letzten Lösungsvorschläge:

• Bei OFDM ist der Crest–Faktor eher groß.
• Dies kann bei den verwendeten Verstärkerschaltungen zu Problemen in Bezug auf Linearitätsanforderungen und Energieeffizienz führen.