Digital Signal Transmission/Redundancy-Free Coding

1. Digital Signal Transmission
2. Coded and Multilevel Transmission
3. Redundancy-Free Coding

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Blockwise coding vs. symbolwise coding

In transmission coding, a distinction is made between two fundamentally different methods:

Symbolwise coding

• Here, a code symbol  $c_\nu$  is generated with each incoming source symbol  $q_\nu$,  which can depend not only on the current symbol but also on previous symbols  $q_{\nu -1}$,  $q_{\nu -2}$, ...
  
• It is typical for all transmission codes for symbolwise coding that the symbol duration  $T_c$  of the usually multilevel and redundant encoder signal  $c(t)$  corresponds to the bit duration  $T_q$  of the message source, which is assumed to be binary and redundancy-free.
  

Details can be found in the chapter  Symbol-Wise Coding with Pseudo Ternary Codes.

Blockwise coding

• Here, a block of  $m_q$  binary source symbols  $(M_q = 2)$  of bit duration  $T_q$  is assigned a one–to–one sequence of  $m_c$  code symbols from an alphabet with code symbol range  $M_c \ge 2$. 
• For the symbol duration of a code symbol  then holds:

$$T_c = \frac{m_q}{m_c} \cdot T_q \hspace{0.05cm},$$

• The relative redundancy of a block code  is in general

$$r_c = 1- \frac{R_q}{R_c} = 1- \frac{T_c}{T_q} \cdot \frac{{\rm log_2}\hspace{0.05cm} (M_q)}{{\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M_c)} = 1- \frac{T_c}{T_q \cdot {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M_c)}\hspace{0.05cm}.$$

More detailed information on the block codes can be found in the chapter  Block Coding with 4B3T Codes.

$\text{Example 1:}$  For the pseudoternary codes,  increasing the number of stages from  $M_q = 2$  to  $M_c = 3$  for the same symbol duration  $(T_c = T_q)$  adds a relative redundancy of  $r_c = 1 - 1/\log_2 \hspace{0.05cm} (3) \approx 37\%$. 

In contrast, the so-called 4B3T codes  operate at block level with the code parameters  $m_q = 4$,  $M_q = 2$,  $m_c = 3$  and  $M_c = 3$  and have a relative redundancy of approx.  $16\%$. Because of  ${T_c}/{T_q} = 4/3$,  the transmitted signal  $s(t)$  is lower in frequency here than in uncoded transmission, which reduces the expensive bandwidth and is also advantageous for many message channels from a transmission point of view.

Quaternary signal with r_c = 0 and ternary signal with r_c ≈ 0

A special case of a block code is a redundancy-free multilevel code. Starting from the redundancy-free binary source signal  $q(t)$  with bit duration  $T_q$,  a  $M_c$–level code signal  $c(t)$  with symbol duration  $T_c = T_q \cdot \log_2 \hspace{0.05cm} (M_c)$  is generated. Thus, the relative redundancy is given by:

$$r_c = 1- \frac{T_c}{T_q \cdot {\rm log_2}\hspace{0.05cm} (M_c)} = 1- \frac{m_q}{m_c \cdot {\rm log_2} \hspace{0.05cm}(M_c)}\to 0 \hspace{0.05cm}.$$

Thereby holds:

• If  $M_c$  is a power to the base  $2$, then  $m_q = \log_2 \hspace{0.05cm} (M_c)$  are combined into a single code symbol  $(m_c = 1)$.  In this case, the relative redundancy is actually  $r_c = 0$.
  
• If  $M_c$  is not a power of two, a hundred percent redundancy-free block coding is not possible. For example, if  $m_q = 3$  binary symbols are encoded by  $m_c = 2$  ternary symbols and  $T_c = 1.5 \cdot T_q$ is set, a relative redundancy of  $r_c = 1-1.5/ \log_2 \hspace{0.05cm} (3) \approx 5\%$ remains.
  
• Encoding a block of  $128$  binary symbols with  $81$  ternary symbols results in a relative code redundancy of less than  $r_c = 0.3\%$.
  
  

To simplify the notation and to align the nomenclature with the first main chapter,  we use in the following

• the bit duration  $T_{\rm B} = T_q$  of the redundancy-free binary source signal,
• the symbol duration  $T = T_c$  of the encoder signal and the transmitted signal, and
• the number of steps  $M = M_c$.
  

This results in the identical form for the transmitted signal as for the binary transmission, but with different amplitude coefficients:

$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T)\hspace{0.3cm}{\rm with}\hspace{0.3cm} a_\nu \in \{ a_1, \text{...} , a_\mu , \text{...} , a_{ M}\}\hspace{0.05cm}.$$

• In principle, the amplitude coefficients  $a_\nu$  can be assigned arbitrarily – but uniquely – to the encoder symbols  $c_\nu$.  It is convenient to choose equal distances between adjacent amplitude coefficients.
• Thus, for bipolar signaling  $(-1 \le a_\nu \le +1)$,  the following applies to the possible amplitude coefficients with index  $\mu = 1$, ... , $M$:

$$a_\mu = \frac{2\mu - M - 1}{M-1} \hspace{0.05cm}.$$

• Independently of the number of steps  $M$  one obtains from this for the outer amplitude coefficients  $a_1 = -1$  and  $a_M = +1$.
• For a ternary signal  $(M = 3)$,  the possible amplitude coefficients are  $-1$,  $0$  and  $+1$.
• For a quaternary signal  $(M = 4)$,  the coefficients are  $-1$,  $-1/3$,  $+1/3$  and  $+1$.
  

$\text{Example 2:}$  The graphic above shows the quaternary redundancy-free transmitted signal  $s_4(t)$  with the possible amplitude coefficients  $\pm 1$  and  $\pm 1/3$, which results from the binary source signal  $q(t)$  shown in the center.

• Two binary symbols each are combined to a quaternary amplitude coefficient according to the table with red background. The symbol duration  $T$  of the signal  $s_4(t)$  is twice the bit duration  $T_{\rm B}$  (previously:  $T_q$)  of the source signal.

• If  $q(t)$  is redundancy-free, it also results in a redundancy-free quaternary signal, i.e., the possible amplitude coefficients  $\pm 1$  and  $\pm 1/3$  are equally probable and there are no statistical ties within the sequence  $⟨a_ν⟩$. 

Redundancy-free ternary and quaternary signal

The lower plot shows the (almost) redundancy-free ternary signal  $s_3(t)$  and the mapping of three binary symbols each to two ternary symbols.

• The possible amplitude coefficients are  $-1$,  $0$  and  $+1$  and  $T/T_{\rm B} = 3/2$.
• It can be seen from the green mapping table that the amplitude coefficients  $+1$  and  $-1$  occur somewhat more frequently than the amplitude coefficient  $a_\nu = 0$.
• This results in the above mentioned relative redundancy of $5\%$.
• However, from the very short signal section – only eight ternary symbols corresponding to twelve binary symbols – this property is not apparent.

AKF und LDS eines Mehrstufensignals

Bei einem redundanzfrei codierten $M$–stufigen bipolaren Digitalsignal  $s(t)$  gilt für die  diskrete Autokorrelationsfunktion  (AKF) der Amplitudenkoeffizienten sowie für das entsprechende  Leistungsdichtespektrum  (LDS):

$$\varphi_a(\lambda) = \left\{ \begin{array}{c} \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)} \\ \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c}\lambda = 0, \\ \\ \lambda \ne 0 \\ \end{array} \hspace{0.9cm}\Rightarrow \hspace{0.9cm}{\it \Phi_a(f)} = \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)}= {\rm const.}$$

Unter Berücksichtigung der spektralen Formung durch den Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  mit Spektrum  $G_s(f)$  erhält man:

$$\varphi_{s}(\tau) = \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)} \cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau) \hspace{0.4cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.4cm} {\it \Phi}_{s}(f) = \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)}\cdot |G_s(f)|^2 \hspace{0.05cm}.$$

Man erkennt aus diesen Gleichungen:

• Bei redundanzfreier mehrstufiger Codierung wird die Form von AKF und LDS allein durch den Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  bestimmt.
  
• Die Höhe der AKF ist bei gleicher Form gegenüber dem redundanzfreien Binärsignal um den Faktor  $\varphi_a(\lambda = 0) = {\rm E}\big[a_\nu^2\big] = (M + 1)/(3M-3)$  geringer.
  
• Dieser Faktor beschreibt die geringere Signalleistung des Mehrstufensignals aufgrund der  $M-2$  inneren Amplitudenkoeffizienten.
• Bei  $M = 3$  ist dieser Faktor gleich  $2/3$, bei  $M = 4$  gleich  $5/9$.
  
• Ein fairer Vergleich zwischen Binärsignal und Mehrstufensignal bei gleichem Informationsfluss (gleicher äquivalenter Bitrate) sollte aber auch die unterschiedlichen Symboldauern berücksichtigen.
  
• Dabei zeigt sich, dass ein Mehrstufensignal aufgrund des schmaleren LDS weniger Bandbreite benötigt als das Binärsignal, wenn die gleiche Information übertragen wird.
  
  

$\text{Beispiel 3:}$  Wir gehen von einer binären Quelle mit der Bitrate  $R_{\rm B} = 1 \ \rm Mbit/s$  aus, so dass die Bitdauer  $T_{\rm B} = 1 \ \rm µ s$  beträgt.

• Bei Binärübertragung  $(M = 2)$  ist die Symboldauer  $T$  des Sendesignals gleich  $T_{\rm B}$  und es ergibt sich bei NRZ–Rechteckimpulsen die blau eingezeichnete Autokorrelationsfunktion in der linken Grafik (vorausgesetzt ist  $s_0^2 = 10 \ \rm mW$).
• Beim Quaternärsystem  $(M = 4)$  ist die AKF ebenfalls dreieckförmig, aber um den Faktor  $5/9$  niedriger und wegen  $T = 2 \cdot T_{\rm B}$  doppelt so breit.

AKF und LDS von Binär- und Quaternärsignal

Das  $\rm si^2$–förmige Leistungsdichtespektrum hat im binären Fall (blaue Kurve) bei den hier gewählten Signalparametern den Maximalwert  ${\it \Phi}_{s}(f = 0) = 10^{-8} \ \rm W/Hz$  (Fläche des blauen Dreiecks) und die erste Nullstelle liegt bei  $f = 1 \ \rm MHz$.

• Das Leistungsdichtespektrum des Quaternärsignals (rote Kurve) ist nur halb so breit und geringfügig höher. Hier gilt  ${\it \Phi}_{s}(f = 0) \approx 1.1 \cdot 10^{-8} \ \rm W/Hz$.
• Der Wert ergibt sich aus der Fläche des roten Dreiecks. Diese ist gegenüber dem blauen Dreieck niedriger  $($Faktor  $0.55)$  und breiter (Faktor $2$).

Fehlerwahrscheinlichkeit eines Mehrstufensystems

Augendiagramme bei redundanzfreien Binär–, Ternär– und Quaternärsignalen

Die Grafik zeigt die Augendiagramme

• eines binären Übertragungssystems  $(M = 2)$,
• eines ternären Übertragungssystems  $(M = 3)$ und
• eines quaternären Übertragungssystems  $(M = 4)$.

Hierbei ist für das Gesamtsystem  $H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$  von Sender, Kanal und Empfänger eine Cosinus–Rolloff–Charakteristik vorausgesetzt, so dass Impulsinteferenzen keine Rolle spielen. Der Rolloff–Faktor ist  $r= 0.5$. Das Rauschen wird als vernachlässigbar klein angenommen.

Das Augendiagramm dient zur Abschätzung von Impulsinterferenzen. Eine genaue Beschreibung folgt im Abschnitt  Definition und Aussagen des Augendiagramms. Der folgende Text sollte aber auch ohne Detailkenntnisse verständlich sein.

Man erkennt aus obigen Darstellungen:

• Beim Binärsystem  $(M = 2)$  gibt es nur eine einzige Entscheiderschwelle:   $E_1 = 0$. Zu einem Übertragungsfehler kommt es, wenn die Rauschkomponente  $d_{\rm N}(T_{\rm D})$  zum Detektionszeitpunkt größer ist als  $+s_0$   $\big ($falls  $d_{\rm S}(T_{\rm D}) = -s_0$ $\big )$  bzw.  wenn  $d_{\rm N}(T_{\rm D})$  kleiner ist als  $-s_0$   $\big ($falls  $d_{\rm S}(T_{\rm D}) = +s_0$ $\big )$.
  

• Beim Ternärsystem  $(M = 3)$  erkennt man zwei Augenöffnungen und zwei Entscheiderschwellen  $E_1 = -s_0/2$  und  $E_2 = +s_0/2$. Der Abstand der möglichen Detektionsnutzsignalwerte  $d_{\rm S}(T_{\rm D})$  zu der nächstgelegenen Schwelle beträgt jeweils  $-s_0/2$. Die äußeren Amplitudenwerte  $(d_{\rm S}(T_{\rm D}) = \pm s_0)$  können nur in jeweils eine Richtung verfälscht werden, während  $d_{\rm S}(T_{\rm D}) = 0$  von zwei Schwellen begrenzt wird.
  

• Dementsprechend wird ein Amplitudenkoeffizient  $a_\nu = 0$  gegenüber  $a_\nu = +1$  bzw.  $a_\nu = -1$  doppelt so oft verfälscht. Bei AWGN–Rauschen mit dem Effektivwert  $\sigma_d$  sowie gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten ergibt sich gemäß dem Abschnitt  Definition der Fehlerwahrscheinlichkeit  für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:

$$p_{\rm S} = { 1}/{3} \cdot \left[{\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)+ 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)+ {\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)\right]= \frac{ 4}{3} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/2}{\sigma_d}\right)\hspace{0.05cm}.$$

• Bitte beachten Sie, dass mit dieser Gleichung nicht mehr die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$, sondern die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$  angegeben wird. Die entsprechenden Aposteriori–Kenngrößen sind Bit Error Rate  (BER) bzw. Symbol Error Rate  (SER). Näheres hierzu im  letzten Abschnitt  dieses Kapitels.
  

• Beim Quaternärsystem  $(M = 4)$  mit den möglichen Amplitudenwerten  $\pm s_0$  und  $\pm s_0/3$  gibt es drei Augenöffnungen und somit auch drei Entscheiderschwellen bei  $E_1 = -2s_0/3$,  $E_2 = 0$  und  $E_3 = +2s_0/3$. Unter Berücksichtigung der Auftrittswahrscheinlichkeiten $($bei gleichwahrscheinlichen Symbolen jeweils $1/4)$  und der sechs Verfälschungsmöglichkeiten (siehe Pfeile in der Grafik) erhält man nun:

$$p_{\rm S} = { 6}/{4} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/3}{\sigma_d}\right)\hspace{0.05cm}.$$

$\text{Fazit:}$  Allgemein gilt für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit bei  $M$–stufiger Digitalsignalübertragung:

$$p_{\rm S} = \frac{ 2 + 2 \cdot (M-2)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0/(M-1)}{\sigma_d(M)}\right) = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d (M)\cdot (M-1)}\right)\hspace{0.05cm}.$$

Die Schreibweise  $\sigma_d(M)$  soll deutlich machen, dass der Effektivwert des Rauschanteils  $d_{\rm N}(t)$  signifikant von der Stufenzahl  $M$  abhängt.

Vergleich zwischen Binärsystem und Mehrstufensystem

Für diesen Systemvergleich unter fairen Bedingungen werden vorausgesetzt:

• Die äquivalente Bitrate  $R_{\rm B} = 1/T_{\rm B}$  sei konstant. Abhängig von der Stufenzahl  $M$  beträgt somit die Symboldauer von Codersignal und Sendesignal:

$$T = T_{\rm B} \cdot {\rm log_2} (M) \hspace{0.05cm}.$$

• Die Nyquistbedingung wird durch eine  Wurzel–Wurzel–Charakteristik  mit Rolloff–Faktor  $r$  erfüllt. Es treten weiterhin keine Impulsinterferenzen auf. Für die Detektionsrauschleistung gilt:

$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2T} \hspace{0.05cm}.$$

• Der Vergleich der Symbolfehlerwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm S}$  erfolgt für  Leistungsbegrenzung. Die Energie pro Bit beträgt bei  $M$–stufiger Übertragung:

$$E_{\rm B} = \frac{M+ 1}{3 \cdot (M-1)} \cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B} \hspace{0.05cm}.$$

Setzt man diese Gleichungen in das allgemeine Ergebnis der  letzten Seite  ein, so erhält man:

$$p_{\rm S} = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{s_0^2 /(M-1)^2}{\sigma_d^2}}\right) = \frac{ 2 \cdot (M-1)}{M} \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{3 \cdot {\rm log_2}\hspace{0.05cm} (M)}{M^2 -1}\cdot \frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0}}\right)= K_1 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{K_2\cdot \frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$

Für  $M = 2$  ist  $K_1 = K_2 = 1$  zu setzen. Für größere Stufenzahlen erhält man für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$, die sich mit  $M$–stufiger redundanzfreier Codierung erreichen lässt:

Symbolfehlerwahrscheinlichkeitskurven für verschiedene Stufenzahlen  $M$

$$M = 3\text{:} \ \ K_1 = 1.333, \ K_2 = 0.594;\hspace{0.5cm}M = 4\text{:} \ \ K_1 = 1.500, \ K_2 = 0.400;$$

$$M = 5\text{:} \ \ K_1 = 1.600, \ K_2 = 0.290;\hspace{0.5cm}M = 6\text{:} \ \ K_1 = 1.666, \ K_2 = 0.221;$$

$$M = 7\text{:} \ \ K_1 = 1.714, \ K_2 = 0.175;\hspace{0.5cm}M = 8\text{:} \ \ K_1 = 1.750, \ K_2 = 0.143.$$

Die Grafik fasst die Ergebnisse für  $M$–stufige redundanzfreie Codierung zusammen.

• Aufgetragen sind die Symbolfehlerwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm S}$  über der Abszisse  $10 \cdot \lg \hspace{0.05cm}(E_{\rm B}/N_0)$.
• Alle Systeme sind für das jeweilige  $M$  optimal, wenn man vom AWGN–Kanal und Leistungsbegrenzung ausgeht.
• Aufgrund der hier gewählten doppelt–logarithmischen Darstellung führt ein  $K_2$–Wert kleiner als  $1$  zu einer Parallelverschiebung der Fehlerwahrscheinlichkeitskurve nach rechts.
• Gilt  $K_1 > 1$, so verschiebt sich die Kurve gegenüber dem Binärsystem  $(K_1= 1)$  nach oben.
  

$\text{Systemvergleich unter der Nebenbedingung Leistungsbegrenzung:}$ 
Die obigen Kurvenverläufe kann man wie folgt interpretieren:

• Hinsichtlich Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ist das Binärsystem  $(M = 2)$  den Mehrstufensystemen überlegen. Bereits mit  $10 \cdot \lg \hspace{0.05cm}(E_{\rm B}/N_0) = 12 \ \rm dB$  erreicht man  $p_{\rm S} <10^{-8}$. Beim Quaternärsystem  $(M = 4)$  muss  $10 \cdot \lg \hspace{0.05cm}(E_{\rm B}/N_0) > 16 \ \rm dB$  aufgewendet werden, um die gleiche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S} =10^{-8}$  zu erreichen.
• Diese Aussage gilt jedoch nur bei verzerrungsfreiem Kanal, das heißt für  $H_{\rm K}(f)= 1$. Bei verzerrenden Übertragungskanälen kann dagegen ein höherstufiges System wegen der signifikant kleineren Detektionsstörleistung (nach dem Entzerrer) eine deutliche Verbesserung bringen.
  
• Beim AWGN–Kanal ist der einzige Vorteil einer höherstufigen Übertragung der niedrigere Bandbreitenbedarf aufgrund der kleineren äquivalenten Bitrate, der bei Basisbandübertragung nur eine untergeordnete Rolle spielt im Gegensatz zu digitalen Trägerfrequenzsystemen, z. B.  Quadratur–Amplitudenmodulation  (QAM).

$\text{Systemvergleich unter der Nebenbedingung Spitzenwertbegrenzung:}$ 

• Mit der Nebenbedingung "Spitzenwertbegrenzung" führt die Kombination aus rechteckförmigem  $g_s(t)$  und rechteckförmigem  $h_{\rm E}(t)$  unabhängig von der Stufenzahl  $M$  zum Optimum.
  
• Der Verlust der Mehrstufensystemen gegenüber dem Binärsystem ist hier noch größer als bei Leistungsbegrenzung. Dies erkennt man an dem mit  $M$  abnehmenden Faktor  $K_2$, für den dann gilt:

$$p_{\rm S} = K_1 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{K_2\cdot \frac{2 \cdot s_{\rm 0}^2 \cdot T}{N_0} }\right)\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} K_2 = \frac{ {\rm log_2}\,(M)}{(M-1)^2} \hspace{0.05cm}.$$

Die Konstante  $K_1$  ist gegenüber der obigen Angabe für Leistungsbegrenzung unverändert, während  $K_2$  um den Faktor  $3$  kleiner ist:

$$M = 3\text{:} \ \ K_1 = 1.333, \ K_2 = 0.198;\hspace{1cm}M = 4\text{:} \ \ K_1 = 1.500, \ K_2 = 0.133;$$

$$M = 5\text{:} \ \ K_1 = 1.600, \ K_2 = 0.097;\hspace{1cm}M = 6\text{:} \ \ K_1 = 1.666, \ K_2 = 0.074;$$

$$M = 7\text{:} \ \ K_1 = 1.714, \ K_2 = 0.058;\hspace{1cm}M = 8\text{:} \ \ K_1 = 1.750, \ K_2 = 0.048.$$

Symbol– und Bitfehlerwahrscheinlichkeit

Bei einem mehrstufigen Übertragungssystem muss man zwischen der  Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  und der  Bitfehlerwahrscheinlichkeit  unterscheiden, die hier sowohl als Scharmittelwerte als auch als Zeitmittelwerte angegeben werden:

• Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit bezieht sich auf die  $M$–stufigen und eventuell redundanten Folgen  $\langle c_\nu \rangle$  und  $\langle w_\nu \rangle$:

$$p_{\rm S} = \overline{{\rm Pr} (w_\nu \ne c_\nu)} = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \cdot \sum \limits^{N} _{\nu = 1} {\rm Pr} (w_\nu \ne c_\nu) \hspace{0.05cm}.$$

• Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit beschreibt die Verfälschungen bezüglich der Binärfolgen  $\langle q_\nu \rangle$  und  $\langle v_\nu \rangle$  von Quelle und Sinke:

$$p_{\rm B} = \overline{{\rm Pr} (v_\nu \ne q_\nu)} = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \cdot \sum \limits^{N} _{\nu = 1} {\rm Pr} (v_\nu \ne q_\nu) \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik veranschaulicht diese beiden Definitionen und ist auch für die nächsten Kapitel gültig. Der Block "Coder" bewirkt

• im vorliegenden Kapitel eine redundanzfreie Codierung,
• im  anschließendem Kapitel  eine blockweise Übertragungscodierung, und schließlich
• im  letzten Kapitel  die symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes.

Symbolfehlerwahrscheinlichkeit und Bitfehlerwahrscheinlichkeit

$\text{Fazit:}$ 

• Bei mehrstufiger und(oder codierter Übertragung muss zwischen der Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  und der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$  unterschieden werden. Nur beim redundanzfreien Binärsystem gilt  $p_{\rm B} = p_{\rm S}$.
• Im allgemeinen kann bei redundanzbehafteten Mehrstufensystem die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$  etwas einfacher berechnet werden als die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$.
• Ein Vergleich von Systemen mit unterschiedlicher Stufenzahl oder verschiedenartiger Codierung sollte aber aus Fairnisgründen stets auf der Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  basieren.
• Dabei muss auch die Zuordnung zwischen den Quellen– und Codesymbolen berücksichtigt werden, wie im folgenden Beispiel gezeigt wird.

$\text{Beispiel 4:}$  Wir betrachten ein quaternäres Übertragungssystem, dessen Übertragungsverhalten wie folgt charakterisiert werden kann (siehe linke Grafik):

• Die Verfälschungswahrscheinlichkeit zu einem benachbarten Symbol ist  $p={\rm Q}\big [s_0/(3\sigma_d)\big ]$.
  
• Eine Verfälschung zu einem nicht benachbarten Symbol wird ausgeschlossen.
  
• Das Modell berücksichtigt die doppelten Verfälschungsmöglichkeiten der inneren Symbole.
  

Gegenüberstellung von Graycode und Dualcode

Bei gleichwahrscheinlichen binären Quellensymbolen  $q_\nu$  treten auch die quaternären Codesymbole  $c_\nu$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Damit erhält man für die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:

$$p_{\rm S} ={1}/{4}\cdot (2 \cdot p + 2 \cdot 2 \cdot p) = {3}/{2} \cdot p\hspace{0.05cm}.$$

Zur Berechnung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit muss man auch die Zuordnung zwischen den Binär– und den Quaternärsymbolen berücksichtigen:

• Bei der  Dualcodierung  gemäß der gelb hinterlegten Tabelle kann ein Symbolfehler  $(w_\nu \ne c_\nu)$  ein oder zwei Bitfehler  $(v_\nu \ne q_\nu)$  zur Folge haben. Von den sechs Verfälschungsmöglichkeiten auf Quaternärsymbolebene führen vier zu jeweils einem und nur die beiden inneren zu zwei Bitfehlern. Daraus folgt:

$$p_{\rm B} = {1}/{4}\cdot (4 \cdot 1 \cdot p + 2 \cdot 2 \cdot p ) \cdot {1}/{2} = p\hspace{0.05cm}.$$

Der Faktor  $1/2$  berücksichtigt, dass ein Quaternärsymbol zwei Binärsymbole beinhaltet.

• Dagegen ist bei der so genannten  Graycodierung  gemäß der grün hinterlegten Tabelle die Zuordnung zwischen den Binärsymbolen und den Quaternärsymbolen so gewählt, dass jeder Symbolfehler genau einen Bitfehler zur Folge hat. Daraus folgt:

$$p_{\rm B} = {1}/{4}\cdot (4 \cdot 1 \cdot p + 2 \cdot 1 \cdot p ) \cdot {1}/{2} = {3}/{4} \cdot p\hspace{0.05cm}.$$

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 2.3: Binärsignal und Quaternärsignal

Aufgabe 2.4: Dualcodierung und Graycodierung

Aufgabe 2.4Z: Fehlerwahrscheinlichkeiten beim Oktalsystem

Aufgabe 2.5: Ternäre Signalübertragung