Difference between revisions of "Linear and Time Invariant Systems/Conclusions from the Allocation Theorem"
(Die Seite wurde neu angelegt: „ {{Header |Untermenü=Beschreibung kausaler realisierbarer Systeme |Vorherige Seite=Lineare Verzerrungen |Nächste Seite=Laplace–Transformation und p–Übe…“) |
|||
| Line 5: | Line 5: | ||
|Nächste Seite=Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion | |Nächste Seite=Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion | ||
}} | }} | ||
| + | ==Real– und Imaginärteil einer kausalen Übertragungsfunktion (1)== | ||
| + | Eine jede kausale Impulsantwort $h(t)$ kann als Summe eines geraden Anteils $h_g(t)$ und eines ungeraden Anteils $h_u(t)$ dargestellt werden, wobei gilt: | ||
| + | $$h_{{\rm g}}(t) & = & \frac{1}{2}\cdot \left[ h(t) + h(-t) | ||
| + | \right]\hspace{0.05cm},\\ | ||
| + | h_{{\rm u}}(t) & = & \frac{1}{2}\cdot \left[ h(t) - h(-t) | ||
| + | \right] = h_{{\rm g}}(t) \cdot {\rm sign}(t)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | Hierbei ist die sogenannte Signum–Funktion verwendet: | ||
| + | $${\rm sign}(t) = \left\{ \begin{array}{c} -1 \\ | ||
| + | +1 \\ \end{array} \right.\quad \quad | ||
| + | \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} | ||
| + | \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} | ||
| + | { t < 0,} \\ | ||
| + | { t > 0.} \\ | ||
| + | \end{array}$$ | ||
| + | {{Beispiel}} | ||
| + | Beispiel: Die Grafik zeigt diese Aufspaltung für eine kausale exponentiell abfallende Impulsantwort | ||
| + | $$h(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ | ||
| + | 0.5/T \\ 1/T \cdot {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad \quad | ||
| + | \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} | ||
| + | \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \end{array}\begin{array}{*{20}c} | ||
| + | { t < 0\hspace{0.05cm},} \\ | ||
| + | { t = 0\hspace{0.05cm},} \\{ t > 0\hspace{0.05cm}.} | ||
| + | \end{array}$$ | ||
| + | eines Tiefpasses erster Ordnung entsprechend Aufgabe Z1.3. | ||
| + | [[ P_ID1750__LZI_T_3_1_S2a_neu.png |400px | Aufteilung der Impulsantwort in einen geraden und einen ungeraden Anteil]] | ||
| + | |||
| + | Man erkennt: | ||
| + | *Für positive Zeiten gilt $h_g(t) = h_u(t) = h(t)/2$. | ||
| + | *Für negative Zeiten unterscheiden sich $h_g(t)$ und $h_u(t)$ nur durch das Vorzeichen. | ||
| + | *Für alle Zeiten gilt $h(t) = h_g(t) + h_u(t)$, auch zum Zeitpunkt $t$ = 0 (durch Kreise markiert). | ||
| + | |||
| + | |||
Revision as of 13:12, 7 May 2016
Real– und Imaginärteil einer kausalen Übertragungsfunktion (1)
Eine jede kausale Impulsantwort $h(t)$ kann als Summe eines geraden Anteils $h_g(t)$ und eines ungeraden Anteils $h_u(t)$ dargestellt werden, wobei gilt: $$h_[[:Template:\rm g]](t) & = & \frac{1}{2}\cdot \left[ h(t) + h(-t) \right]\hspace{0.05cm},\\ h_[[:Template:\rm u]](t) & = & \frac{1}{2}\cdot \left[ h(t) - h(-t) \right] = h_[[:Template:\rm g]](t) \cdot {\rm sign}(t)\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei ist die sogenannte Signum–Funktion verwendet: $${\rm sign}(t) = \left\{ \begin{array}{c} -1 \\ +1 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} { t < 0,} \\ { t > 0.} \\ \end{array}$$
Beispiel: Die Grafik zeigt diese Aufspaltung für eine kausale exponentiell abfallende Impulsantwort $$h(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 0.5/T \\ 1/T \cdot {\rm e}^{-t/T} \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \end{array}\begin{array}{*{20}c} { t < 0\hspace{0.05cm},} \\ { t = 0\hspace{0.05cm},} \\{ t > 0\hspace{0.05cm}.} \end{array}$$
eines Tiefpasses erster Ordnung entsprechend Aufgabe Z1.3.
400px | Aufteilung der Impulsantwort in einen geraden und einen ungeraden Anteil
Man erkennt:
- Für positive Zeiten gilt $h_g(t) = h_u(t) = h(t)/2$.
- Für negative Zeiten unterscheiden sich $h_g(t)$ und $h_u(t)$ nur durch das Vorzeichen.
- Für alle Zeiten gilt $h(t) = h_g(t) + h_u(t)$, auch zum Zeitpunkt $t$ = 0 (durch Kreise markiert).
