Modulation Methods/Implementation of OFDM Systems

1. Modulation Methods
2. Vielfachzugriffsverfahren
3. Implementation of OFDM Systems

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OFDM mittels diskreter Fouriertransformation

Betrachten wir nun erneut die sich zeitlich nicht überlappenden Sendesignalrahmen $$s_k (t) = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,k} \cdot g_\mu (t - k \cdot T_{\rm{R}} )},$$ wobei $k$ die Rahmennummer angibt. Diese besitzen zu den Abtastzeiten $k · T_{\rm R} + ν · T_{\rm A}$ mit $0 ≤ ν < N$ und $T_{\rm A} = T/N$ die Abtastwerte $$s_{\nu ,k} = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {a_{\mu ,k} \cdot {\rm{e}}^{ {\kern 1pt} {\rm{j\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi}} {\kern 1pt}\cdot \hspace{0.03cm}\nu \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}{\mu}/{N}} }.$$ Mit der Umbenennung $s_{ν,k} = d_{ν,k}$ und $a_{\mu,k} = D_{\mu,k}$ entspricht diese Gleichung exakt der Inversen Diskreten Fouriertransformation – abgekürzt IDFT – im jeweils $k$–ten Intervall: $$\quad d_{\nu ,k} = \sum\limits_{\mu = 0}^{N - 1} {D_{\mu ,k} \cdot w^{ - \nu \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \mu } } \quad {\rm{mit}} \quad w = {\rm{e}}^{ - {\rm{j}} {\rm{\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}2\pi}}/N}.$$ Hierbei sind $d_{ν,k}$ die Zeitabtastwerte und $D_{ν,k}$ die diskreten Spektralkoeffizienten. Die Gleichung für den Übergang von der diskreten Zeit– zur diskreten Spektralfunktion – also die DFT – lautet: $$\quad D_{\mu ,k} = \frac{1}{N}\cdot \sum\limits_{\nu = 0}^{N - 1} {d_{\nu ,k} \cdot w^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\mu } }.$$

Weiterhin gilt:

• Die Koeffizienten $d_{ν,k}$ und $D_{μ,k}$ sind mit der Stützstellenanzahl $N$ periodisch. Zudem sind sie im Allgemeinen komplexwertig.
• DFT und IDFT sind prinzipiell gleich aufgebaut und unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen im Exponenten des komplexen Drehfaktors $w$ sowie den Normierungsfaktor $1/N$ bei der DFT.

Hinweis: Das Flash–Modul Diskrete Fouriertransformation verdeutlicht die Eigenschaften der DFT.

Mit Hilfe der Schnellen Fouriertransformation (Fast Fourier Transform, FFT) ergibt sich die Möglichkeit einer sehr effizienten Realisierung des Mehrträgersystems.

Anmerkung: Für die Verwendung von FFT/IFFT muss die Anzahl der Stützstellen (bzw. Abtastwerte) im Zeit– und Frequenzbereich jeweils eine Zweierpotenz sein. Unter dieser Voraussetzung ist mit den verschiedenen bekannten Algorithmen zur Umsetzung der FFT eine Berechnung mit der Komplexität ${\rm O}(N · {\rm ld}(N))$ möglich.

OFDM–Sender

Die Grafik zeigt das Blockschaltbild eines OFDM–Senders mittels IDFT. Der Index $k$ kennzeichnet wieder den Zeitrahmen. Man erkennt aus dieser Darstellung:

• Im Eingangspuffer wird das Quellensignal $q(t)$ implizit seriell/parallel (S/P) gewandelt und danach eine Signalraumzuordnung auf die $N$ Spektralkoeffizienten $D_{\mu,k}$ vorgenommen.
• Bei einem 4–QAM–Mapping ergeben jeweils zwei Quellensymbole zusammen einen komplexen Koeffizienten $D_{\mu,k}$, der vier verschiedene Werte annehmen kann.
• Die so erzeugten Spektralkoeffizienten $D_{\mu,k}$ werden anschließend dem IDFT–Block zugeführt, der daraus die Zeitbereichswerte $d_{ν,k}$ generiert.
• Diese werden wieder parallel/seriell gewandelt. Nach der darauf folgenden D/A–Wandlung und einer Tiefpassfilterung erhält man schließlich das Sendesignal $s(t)$ im äquivalenten Tiefpassbereich.

Fazit: Die Inverse Diskrete Fouriertransformation (IDFT) ersetzt beim OFDM–Sender die sehr aufwändige parallele Modulation der $N$ orthogonalen Träger. Durch die Realisierung als IFFT (Inverse Fast Fourier Transform) ergibt sich eine weitere Aufwandsreduktion.

OFDM–Empfänger

Die folgende Grafik zeigt das Blockschaltbild eines OFDM–Empfängers mittels DFT.

Die wesentlichen Schritte dabei sind:

• Das Eingangssignal $r(t)$ des Empfängers wird zunächst digitalisiert (A/D–Wandlung). Darauf folgt eine Vorentzerrung im Zeitbereich (optional), zum Beispiel mittels Entscheidungsrückkopplung (Decision Feedback Equalization, DFE) oder Viterbi–Algorithmus.
• Anzumerken ist, dass die entscheidende Entzerrung jedoch im Frequenzbereich erfolgt. Diese wird erst im Abschnitt OFDM–Entzerrung am Kapitelende exemplarisch erläutert und ist in obiger Grafik nicht berücksichtigt.
• Nach der Seriell/Parallel–Wandlung (S/P) werden die diskreten Zeitwerte $d_{ν,k}$ dem DFT–Block zugeführt. Die erzeugten Spektralabtastwerte $D_{\mu,k}$ werden durch den QAM–Detektor decodiert und im Ausgangspuffer implizit parallel/seriell gewandelt, woraus das Sinkensignal $υ(t)$ hervorgeht.
• Zu beachten ist allerdings, dass sich die empfängerseitigen Koeffizienten $d_{ν,k}$ und $D_{\mu,k}$ aufgrund von Kanalverzerrungen und Rauschen von den entsprechenden Größen des OFDM–Senders durchaus unterscheiden können, was bei der gewählten Nomenklatur nicht zum Ausdruck kommt.
• Die Koeffizienten $â_{\mu,k}$ des Sinkensignals $υ(t)$ sind nur bei fehlerfreier Detektion identisch mit den Koeffizienten $a_{\mu,k}$ des Quellensignals $q(t)$. Im Allgemeinen unterscheiden sich diese, was durch die Symbolfehlerrate erfasst wird.

Fazit: In der Praxis ersetzt die Diskrete Fouriertransformation (DFT) die sehr aufwändige parallele Demodulation der $N$ orthogonalen Träger. Durch die Realisierung als FFT (Fast Fourier Transform) ergibt sich eine weitere Aufwandsreduktion.

Guard–Lücke zur Verminderung der Impulsinterferenzen (1)

Die Orthogonalität der OFDM–Träger geht bei der Übertragung über einen frequenzselektiven Kanal verloren. Die daraus resultierende Interferenz zwischen den einzelnen Trägern bezeichnet man als Intercarrier–Interferenz (ICI). Die Übertragung über einen solchen Mehrwegekanal bewirkt letztlich aber auch eine Überlagerung aufeinander folgender Symbole und damit Impulsinterferenzen (engl. Intersymbol Interference, ISI).

Die Grafik zeigt den Realteil eines OFDM–Empfangssignals im äquivalenten Tiefpassbereich nach der Übertragung über einen rauschfreien Mehrwegekanal mit den Parametern

• für den Pfad 0: Dämpfung $h_0 =$ 0.5; Verzögerung $τ_0/T =$ 0,
• für den Pfad 1: Dämpfung $h_1 =$ 0.5; Verzögerung $τ_1/T =$ 0.25.

Schwarz gezeichnet ist der mit „Plus–Eins” belegte Träger der Frequenz $1 · f_0$ des Intervalls $k$. Der mit „Minus–Eins” gewichtete Träger mit der Frequenz $3 · f_0$ im vorherigen Intervall $(k–1)$ ist rot dargestellt. Andere Intervalle und Träger werden nicht berücksichtigt. Man erkennt aus dieser Skizze:

• Die Einschwingvorgänge zu Symbolbeginn führen zu Intercarrier–Interferenz (ICI) im Spektrum. Im Zeitbereich erkennt man ICI an den auftretenden Sprüngen (in der Grafik gelb markiert). Dadurch geht die Orthogonalität bezüglich der Frequenzstützstellen verloren.
• Weiter erkennt man Impulsinterferenzen (ISI) im grün markierten Zeitintervall $0 ≤ t < τ_1$: Das Vorgängersymbol $k–1$ (Frequenz $3 · f_0$) stört das Symbol $k$ (Frequenz $1 · f_0$).

Guard–Lücke zur Verminderung der Impulsinterferenzen (2)

Ein erster möglicher Lösungsansatz für das zweite Problem (ISI) ist die Einführung einer Guard–Lücke der Länge $T_{\rm G}$. Dabei wird das Signal zwischen zwei Symbolen für die Dauer der Schutzzeit $T_{\rm G}$ zu Null gesetzt. Mögliche Impulsnachläufer des Symbols $k–1$ reichen dadurch nicht mehr in das darauffolgende Symbol $(k)$ hinein, sofern die Guard–Lücke „breiter” als die maximale Kanalverzögerung gewählt wird. Die neue Rahmendauer $T_{\rm R}$ – also der Abstand der Sendesymbole – ergibt sich damit zu $T_{\rm R} = T + T_{\rm G}$.

Die untere Grafik zeigt wieder den Realteil des OFDM–Empfangssignals, aber nun mit Guard–Lücke. Die Systemparameter des letzten Abschnitts wurden beibehalten und zusätzlich $T_{\rm G} = T/4$ gesetzt, was bei dem gewählten Parametersatz dem Grenzfall $T_{\rm G} = τ_{\rm max}$ entspricht.

Diese Grafik zeigt: Durch die Verwendung einer Guard–Lücke entsprechender Breite können zwar Impulsinterferenzen (ISI) vermieden werden, Intercarrier–Interferenz (ICI) lässt sich dadurch jedoch nicht verhindern, da die Symbole weiterhin eine Einschwingphase und damit Sprünge aufweisen.

Aus diesem Grund soll im Folgenden der Ansatz „Guard–Lücke” nicht mehr weiter betrachtet werden. Vielmehr wird nachfolgend eine bessere Alternative vorgestellt.

Zyklisches Präfix (1)

Eine besser geeignete Lösung für das beschriebene Problem ist die Einführung einer zyklischen Erweiterung der Sendesymbole im so genannten Guard–Intervall der Länge $T_{\rm G}$. Dafür wird das Ende eines Symbols im Zeitabschnitt $T – T_{\rm G} ≤ t < T$ dem eigentlichen Symbol erneut vorangestellt. Dieses Verfahren erzeugt somit ein zyklisches Präfix.

Die Intervalldauer steigt dabei wie bei der Guard–Lücke von der ursprünglichen Symboldauer $T$ auf die neue Rahmendauer $T_{\rm R} = T + T_{\rm G}$. Die neue Anzahl der Abtastwerte des erweiterten zeitdiskreten Signals im $k$–ten Intervall beträgt dann: $$N_{\rm{gesamt}} = N + N_{\rm{G}} = N \cdot (1 + T_{\rm{G}} /T) .$$ Die Anzahl der Träger und die Anzahl der Nutz–IDFT–Werte ist weiterhin $N$. Die Erweiterung wird hier lediglich durch eine Wiederholung von Werten als Guard–Intervall erzielt.

Zyklisches Präfix (2)

Der Einsatz des zyklischen Präfixes erscheint dann besonders sinnvoll, wenn die Impulsinterferenzen vor allem durch Nachläufer hervorgerufen werden. Dies trifft auch auf die bei DSL–Systemen verwendeten Kupfer–Doppeladern zu.

Die Grafik zeigt die Funktionsweise des Guard–Intervalls im zeitkontinuierlichen Fall. Es gelten weiterhin die Systemparameter aus der Betrachtung der Guard–Lücke, wobei allerdings nur noch ein Symbol (mit der Frequenz $f_0$) betrachtet wird. Die weiteren Systemparameter sind wiederum $T_{\rm G} = T/4$ sowie

• für den Pfad 0: Dämpfung $h_0 =$ 0.5; Verzögerung $τ_0/T =$ 0,
• für den Pfad 1: Dämpfung $h_1 =$ 0.5; Verzögerung $τ_1/T =$ 0.25.

Interferenzen werden verhindert, wenn

• die Vorgängersymbole während des Guard–Intervalls vollständig abklingen (ISI) und
• die jeweiligen Einschwingvorgänge (ICI) nicht in die Nutzsymbole hineinreichen.

Fazit: Durch ein Zyklisches Präfix lassen sich sowohl ICI als auch ISI vollständig vermeiden. Voraussetzung dafür ist, dass die Länge des Guard–Intervalls $(T_{\rm G})$ mindestens gleich der maximalen Dauer der Kanalimpulsantwort $(τ_{\rm max}$, hier gleich $τ_1)$ ist: $T_{\rm G} ≥ τ_{\rm max}$. Im hier betrachteten Beispiel gilt das Gleichheitszeichen.

Die Länge der Kanalimpulsantwort $(τ_{\rm max})$ begrenzt dabei den ISI– und ICI–freien Abschnitt innerhalb des Guard–Intervalls auf den Bereich $ \ –T_{\rm G} + τ_{\rm max} ≤ t < 0$.

OFDM–System mit zyklischem Präfix (1)

Die bereits vorne gezeigte Senderstruktur muss also noch um den Block „Zyklisches Präfix” ergänzt werden. Beim Empfänger muss dieses Präfix wieder entfernt werden.

Die Festlegung eines geeigneten Guard–Intervalls ist ein wichtiges Designkriterium bei OFDM–basierten Übertragungssystemen. Eine mögliche Vorgehensweise dazu wird im Abschnitt OFDM für 4G–Netze exemplarisch vorgestellt.

Das zu diesem Kapitel gehörende Interaktionsmodul verdeutlicht die Funktionsweise eines zyklischen Präfixes im zeitkontinuierlichen Fall im Bezug auf Intercarrier–Interferenz (ICI):

OFDM–Spektrum und –Signale

OFDM–System mit zyklischem Präfix (2)

Die Verwendung eines zyklischen Präfixes vermindert jedoch die Bandbreiteneffizienz. Dabei steigt die Degradation mit wachsender Dauer $T_{\rm G}$ des Guard–Intervalls – nachfolgend abgekürzt mit GI. Unter der vereinfachenden Annahme eines hart auf $N/T$ begrenzten Sendespektrums $S(f)$ ergibt sich für die Bandbreiteneffizienz – siehe [Kam04]: $$\beta = \frac{1}{{1 + T_{\rm{G}} /T}} = \frac{ {\rm Symbolrate} }{ {\rm Bandbreite} }.$$ Bei einem System, das dem so genannten Matched–Filter–Ansatz genügt, führt eine Vergrößerung der Rahmendauer von $T$ auf $T_{\rm G} + T$ allerdings zu einer Verringerung des Signal–Rausch–Verhältnisses, wenn die Impulsantworten $g_{\rm S}(t)$ und $g_{\rm E}(t)$ von Sende– und Empfangsfilter an die Symboldauer $T$ angepasst sind. Das resultierende SNR (in dB) berechnet sich zu $${\rm{SNR}}_{\hspace{0.03cm}{\rm{ {\rm{mit} }\hspace{0.03cm} GI} } } = {\rm{SNR}}_{\hspace{0.03cm}{\rm{{\rm{ohne}}\hspace{0.03cm} GI}}} + 10 \cdot \lg (\beta ), \quad {\rm{wobei}}$$ $$\beta = \frac{{\left[ {\int\limits_0^T {g_{\rm{S}} (\tau ) \cdot g_{\rm{E}} ( - \tau )d\tau } } \right]^2 }}{{\int\limits_{ - T_{\rm{G}} }^T {g_{\rm{S}}^2 (\tau )} \,d\tau \cdot \int\limits_{\rm{0}}^T {g_{\rm{E}}^2 (\tau )} \,d\tau }} = \frac{ {T^2 } } { {(T + T_{\rm{G} } ) \cdot T} } = \frac{1}{ {1 + T_{\rm{G} } /T} }.$$

Gehen wir von einem Guard–Intervall der Länge $T_{\rm G} = T/3$ aus, dann ergibt sich für die Bandbreiteneffizienz: $$\beta = \frac{1}{ {1 + 1/3} } = 3/4.$$ Der Anteil des zyklischen Präfixes an der Rahmendauer $T_{\rm R}$ beträgt 25% und der (logarithmische) SNR–Verlust ist dann 10 · lg (4/3) ≈ 1.25 dB.

OFDM–Entzerrung im Frequenzbereich

Wir betrachten das OFDM–System weiterhin im rauschfreien Fall und gehen von einer zeitinvarianten Kanalimpulsantwort aus, deren Länge geringer als die Dauer $T_{\rm G}$ des sendeseitig hinzugefügten zyklischen Präfixes ist. Die Betrachtung erfolgt im $k$–ten Intervall, wobei auf die Indizierung verzichtet wird. Die zeitdiskrete Kanalimpulsantwort lässt sich mit der Abkürzung $T_{\rm A} = T/N$ als $h_ν = h(ν · T_{\rm A})$ schreiben.

Das zeitdiskrete Empfangssignal ergibt sich damit durch lineare Faltung zu: $$r_\nu = s_\nu * h_\nu = d_\nu * h_\nu.$$ Hierbei ist berücksichtigt, dass die Zeitabtastwerte $s_ν$ des Sendesignals mit den IDFT–Koeffizienten $d_ν$ übereinstimmen.

Zu beachten ist: Im Allgemeinen gilt für die herkömmliche lineare Faltung: $${\rm{DFT}} \{ d_\nu * h_\nu \} \ne {\rm{DFT}} \{d_\nu \} \cdot {\rm{DFT}} \{ h_\nu \}.$$ Um dennoch das diskrete Empfangsspektrum durch die diskrete Fouriertransformation (DFT) angeben zu können, benötigt man die zirkulare Faltung: $$r_\nu = d_\nu * _{\rm circ} h_\nu \quad \circ\hspace{0.01cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \quad R_\mu = {\rm{DFT}} \{ d_\nu * _{\rm circ} h_\nu \}.$$ Mit dem Faltungssatz für lineare zeitinvariante Systeme (LZI–Systeme) kann man dann das Spektrum auch als Produkt zweier diskreter Fouriertransformierter schreiben: $$R_\mu = {\rm{DFT}}\{ d_\nu \} \cdot {\rm{DFT}}\{ h_\nu \} = D_\mu \cdot H_\mu.$$ Um den Einfluss des Kanals auf die Empfangsfolge auszugleichen, bietet sich also die Multiplikation des Spektrums mit der inversen Übertragungsfunktion $1/H_{\mu}$ an. Dieser „Zero Forcing”–Ansatz führt im rauschfreien Fall zur idealen Signalrekonstruktion. Die Entzerrung kann dabei punktweise erfolgen: $$\hat D_\mu = \frac{1}{ {H_\mu } } \cdot R_\mu.$$

Fazit: Bei einem OFDM–System kann die Kanalentzerrung mit nur einer einzigen Multiplikation je Unterträger realisiert werden, sofern der Frequenzgang des Kanals bekannt ist. Bei einem klassischen Einträger–System müsste man demgegenüber den gesamten genutzten Frequenzbereich entzerren.

OFDM–Entzerrung in Matrix–Vektor–Notation (1)

Im Folgenden soll eine erneute, tiefer gehende Betrachtung der OFDM–Entzerrung erfolgen, wobei wir die Matrix–Vektor–Notation verwenden. Die Betrachtung erfolgt weiterhin im $k$–ten Intervall:

• Der Vektor eines Kanals mit $L$ Echos ist $\mathbf h = (h_0, ... , h_L)$. Die Übertragungsmatrix mit $N$ Zeilen und $N + L$ Spalten lautet:

$${\rm\bf{H}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & \cdots & {h_L } & {} & {} & {} \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & \cdots & {h_L } & {} & {} \\ {} & {} & \ddots & \ddots & {} & \ddots & {} \\ {} & {} & {} & {h_0 } & {h_1 } & \cdots & {h_L } \\ \end{array}} \right).$$

• Hierbei gibt $N$ wieder die Anzahl der Träger und damit auch der Zeitabtastwerte der IDFT an. Mit dem Sendevektor ${\bf d} = (d_0, ... , d_{N–1})$ ergibt sich der Empfangsvektor zu $\bf r = d · H$.
• Unter Berücksichtigung des zyklischen Präfixes erhält man den erweiterten Sendevektor:

$${\rm\bf{d}}_{{\rm{ext}}} = (d_{N - N_G } , \ldots ,d_{N - 1} ,d_0 , \ldots ,d_{N - 1} ).$$

• Nun könnte man die obige Übertragungsmatrix $\bf H$ ebenfalls entsprechend auf $(N + N_{\rm G})$ Zeilen und $(N + L + N_{\rm G})$ Spalten erweitern sowie das Präfix am Empfänger wieder entfernen.
• Alternativ kann auch die $\rm \bf \ zyklische \ Matrix \ H_C$ mit $N$ Zeilen und $N$ Spalten verwendet werden:

$${\rm\bf{H}}_{\rm{C}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & \cdots & \cdots & {h_L } & {} & {} & {} \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & \cdots & \cdots & {h_L } & {} & {} \\ {} & {} & \ddots & \ddots & {} & {} & \ddots & {} \\ {} & {} & {} & {h_0 } & {h_1 } & \cdots & \cdots & {h_L } \\ \hline {h_L } & {} & {} & {} & {h_0 } & {h_1 } & \cdots & {h_{L - 1} } \\ \vdots & \ddots & {} & {} & {} & \ddots & {} & \vdots \\ \vdots & {} & \ddots & {} & {} & {} & \ddots & \vdots \\ {h_1 } & \cdots & \cdots & {h_L } & {} & {} & {} & {h_0 } \\ \end{array}} \right) .$$ Die Beschreibung der OFDM–Entzerrung wird nachfolgend fortgesetzt.

OFDM–Entzerrung in Matrix–Vektor–Notation (2)

Für das Weitere wird auch die Fouriertransformation in Matrix–Vektor–Notation benötigt: $${\rm\bf{F}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & {} & {} & {} \\ \vdots & {} & {{\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} 2\pi }}{\kern 1pt} \cdot \hspace{0.02cm}\nu {\kern 1pt} \cdot\mu /N} } & {} \\ 1 & {} & {} & {} \\ \end{array}} \right) .$$

Daraus ergibt sich die Diskrete Fouriertransformation (DFT) mit $1/N · \bf \rm F$ und deren Inverse (IDFT) mit $\rm \bf F^{\star}$, so dass sich der Sendevektor als $\rm \bf d = D · F^{\star}$ darstellen lässt. Die $N$ Spektralkoeffizienten werden durch den Vektor ${\rm \bf D} = 1/N · \rm \bf d · F$ beschrieben und der Empfangsvektor ist $\rm \bf r = d · H_C = D · F^{\star} · H_C$.

Die (diskrete) Fourier–Transformierte des Empfangsvektors berechnet sich dann zu: $${\rm\bf{R}} = \frac{1}{N} \cdot {\rm\bf{r}} \cdot {\rm\bf{F}} = {\rm\bf{D}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {H_0 } & {} & {} & {} \\ {} & {H_1 } & {} & {} \\ {} & {} & \ddots & {} \\ {} & {} & {} & {H_{N - 1} } \\ \end{array}} \right),\hspace{0.25cm} {\rm mit}\hspace{0.25cm} H_\mu = \sum\limits_{l = 0}^L {h_l \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} 2\pi }}{\kern 1pt} \cdot \hspace{0.02cm}l {\kern 1pt} \cdot\mu /N} }.$$ Das Empfangssymbol auf dem $\mu$–ten Träger ist somit $R_{\mu} = D_{\mu} · H_{\mu}$, das sich somit wiederum mit dem Zero Forcing–Ansatz entzerren lässt: $$\hat D_\mu = \frac{1}{ {H_\mu } } \cdot R_\mu = e_\mu \cdot R_\mu .$$ Die vorgeschlagene Entzerrung mit den Entzerrungskoeffizienten $e_{\mu} = 1/H_{\mu}$ mit $\mu = 0, ... , N–1$ führt schließlich zum endgültigen Blockschaltbild des OFDM–Empfängers:

OFDM–Entzerrung in Matrix–Vektor–Notation (3)

Wir gehen von einem System mit $N =$ 4 Trägern und einem Kanal mit $L =$ 2 Echos aus, so dass für den Sendevektor ${\bf d} = (d_0, d_1, d_2, d_3)$ und für die Kanalimpulsantwort ${\bf h} = (h_0, h_1, h_2)$ gilt.

Zur Repräsentation des zyklischen Präfixes verwenden wir statt des erweiterten Sendevektors mit der zugehörigen Übertragungsmatrix die zyklische Übertragungsmatrix $${\rm\bf{H}}_{\rm{C}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } & {} \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } \\ \hline {h_2 } & {} & {h_0 } & {h_1 } \\ {h_1 } & {h_2 } & {} & {h_0 } \\ \end{array}} \right).$$ Der Empfangsvektor $\rm \bf r = d · H_c$ ergibt sich damit zu $${\rm\bf{r}} = \left( {r_0 ,r_1 ,r_2 ,r_3 } \right) = \left( {d_0 ,d_1 ,d_2 ,d_3 } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } & {} \\ {} & {h_0 } & {h_1 } & {h_2 } \\ \hline {h_2 } & {} & {h_0 } & {h_1 } \\ {h_1 } & {h_2 } & {} & {h_0 } \\ \end{array}} \right) $$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} r_0 = d_0 \cdot h_0 + d_2 \cdot h_2 + d_3 \cdot h_1, \hspace{0.5cm} r_1 = d_0 \cdot h_1 + d_1 \cdot h_0 + d_3 \cdot h_2,$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} r_2 = d_0 \cdot h_2 + d_1 \cdot h_1 + d_2 \cdot h_0, \hspace{0.5cm} r_3 = d_1 \cdot h_2 + d_2 \cdot h_1 + d_3 \cdot h_0.$$ Die (diskrete) Fourier–Transformierte des Empfangsvektors berechnet sich zu $${\rm\bf{R}} = \frac{1}{N} \cdot {\rm\bf{r}} \cdot {\rm\bf{F}} = {\rm\bf{D}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {H_0 } & {} & {} & {} \\ {} & {H_1 } & {} & {} \\ {} & {} & {H_2 } & {} \\ {} & {} & {} & {H_3 } \\ \end{array}} \right) ,\hspace{0.25cm} {\rm mit}\hspace{0.25cm} H_\mu = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} 2\pi }}{\kern 1pt} \cdot \hspace{0.02cm}l {\kern 1pt} \cdot\mu /4} } .$$

Für die numerische Berechnung gehen wir nun von einer bekannten, BPSK–codierten Sendefolge $\rm \bf D$ (im Frequenzbereich) und der folgenden Kanalimpulsantwort $\bf h$ aus: $${\rm\bf{D}} = \frac{1}{N} \cdot {\rm\bf{d}} \cdot {\rm\bf{F}} = \left( D_0, D_1,D_2,D_3\right) = \left( +1,-1,+1,-1\right),$$ $${\rm\bf{h}}= \left( h_0, h_1,h_2\right) = \left( 0.5,0.3,0.2\right).$$ Zunächst bestimmen wir die Elemente $H_{\mu}$ der Diagonalmatrix: $$\begin{array}{l} H_0 = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e}}^0 = 0.5 + 0.3 + 0.2 = 1,} \\ H_1 = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}{\kern 1pt} l {\kern 1pt} \cdot {1}/{4}} } = 0.5 \cdot {\rm{e}}^0 + 0.3 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }} /2 } + 0.2 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }} } = 0.3 - {\rm{j}} \cdot 0.3, \\ H_2 = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}{\kern 1pt} l {\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} {2}/{4}} } = 0.5 \cdot {\rm{e}}^0 + 0.3 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }} } + 0.2 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }} } = 0.4, \\ H_3 = \sum\limits_{l = 0}^2 {h_l \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }} {\kern 1pt} l {\kern 1pt} \cdot {\kern 1pt} {3}/{4}} } = 0.5 \cdot {\rm{e}}^0 + 0.3 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \frac{3}{2} \pi }} } + 0.2 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j3\pi }} } = 0.3 + {\rm{j}} \cdot 0.3. \\ \end{array}$$ Damit ergibt sich der Vektor der Frequenzstützstellen am Empfänger zu $$\begin{align*}{\rm\bf{R}} &= \left( {\rm{1, -1, \; \; 1, -1}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & {} & {} & {} \\ {} & {0.3 - {\rm{j}} \cdot 0.3} & {} & {} \\ {} & {} & {0.4} & {} \\ {} & {} & {} & {0.3 + {\rm{j}} \cdot 0.3} \\ \end{array}} \right) =\\ \\ & = {\rm{ (1, -0.3 + j \cdot 0.3, \; \; 0.4, -0.3 - j \cdot 0.3) }}.\end{align*}$$ Die Entzerrerkoeffizienten wählt man nun entsprechend $e_{\mu} = 1/H_{\mu}$, wobei $\mu =$ 0, ... , 3 gilt: $$e_0 = 1, \quad e_1 = \frac{1}{{0.3 - {\rm{j}} \cdot 0.3}}, \quad e_2 = \frac{1}{ {0.4} }, \quad e_3 = \frac{1}{{0.3 + {\rm{j}} \cdot 0.3}}.$$ Die entzerrte Symbolfolge ergibt sich mit ${\bf e} = (e_0, e_1, e_2, e_3)$ schließlich zu $$\hat {\rm\bf{D}} = {\rm\bf{R}} \cdot {\rm\bf{e}}^{\rm{T}} = (R_0 ,R_1 ,R_2 ,R_3) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} {e_0 } \\ {e_1 } \\ {e_2 } \\ {e_3 } \\ \end{array}} \right) = \left( 1, -1, \; \; 1, -1 \right).$$ Dies entspricht exakt der Sendesymbolfolge $\bf D$. Das heißt: Bei Kenntnis des Kanals lässt sich das Signal ideal entzerren, wobei man pro Symbol (Träger) nur eine einzige Multiplikation benötigt.