Phase Modulation (PM)

1. Modulation Methods
2. Winkelmodulation und WM–Demodulation
3. Phase Modulation (PM)

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Gemeinsamkeiten zwischen Phasen– und Frequenzmodulation (1)

Schon im Kapitel 1.3 wurde darauf hingewiesen, dass es zwischen der Phasenmodulation (PM) und der Frequenzmodulation (FM) – siehe Kapitel 3.2 – substanzielle Gemeinsamkeiten gibt. Man fasst deshalb diese beiden verwandten Modulationsverfahren unter dem Oberbegriff „Winkelmodulation” zusammen.

Eine Winkelmodulation – abgekürzt WM – liegt dann vor, wenn sich das modulierte Signal wie folgt darstellen lässt: $$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos(\psi(t)) = A_{\rm T} \cdot \cos( \omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \hspace{0.05cm}.$$ Hierbei bezeichnet $A_{\rm T}$ wie bei der Amplitudenmodulation die Amplitude des Trägersignals $z(t)$. Die gesamte Information über das Quellensignal $q(t)$ steckt nun aber in der Winkelfunktion $ψ(t)$.

Anhand der Ortskurve – der Darstellung des äquivalenten TP–Signals $s_{\rm TP}(t)$ in der komplexen Ebene – sind folgende Charakteristika der Winkelmodulation zu erkennen (siehe Grafik am Ende des Abschnitts):

• Die Ortskurve ist ein Kreisbogen mit dem Radius $A_{\rm T}$. Daraus folgt, dass die Hüllkurve eines winkelmodulierten Signals stets konstant ist:

$$a(t) = |s_{\rm TP}(t)|= A_{\rm T}= {\rm const.}$$

• Das äquivalente TP–Signal ist bei Winkelmodulation immer komplex und durch eine zeitabhängige Phasenfunktion ${\mathbf ϕ}(t)$ (in Radian) festgelegt, welche die Nulldurchgänge von $s(t)$ bestimmt:

$$s_{\rm TP}(t)= A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}\hspace{0.05cm}.$$

• Bei symmetrischem Quellensignal $q(t)$ kann ${\mathbf ϕ}(t)$ alle Werte zwischen $±ϕ_{\rm max}$ annehmen, wobei $ϕ_{\rm max}$ den Phasenhub angibt. Je größer der Phasenhub ist, desto intensiver ist die Modulation.
• Bei einer harmonischen Schwingung ist der Phasenhub $ϕ_{\rm max}$ gleich dem Modulationsindex $η$. Die Verwendung von $η$ zeigt im Folgenden also an, dass $q(t)$ nur eine einzige Frequenz beinhaltet.
• Der Zusammenhang zwischen Quellensignal $q(t)$ und Winkelfunktion $ψ(t) = \cos(ω{\rm T} · t + {\mathbf ϕ}(t))$ bzw. der daraus ableitbaren Phasenfunktion ${\mathbf ϕ}(t)$ unterscheidet sich bei der Phasen– und der Frequenzmodulation grundsätzlich, worauf im Kapitel 3.2 noch ausführlich eingegangen wird.

Gemeinsamkeiten zwischen Phasen– und Frequenzmodulation (2)

Die folgende Grafik zeigt jeweils rechts das Sendesignal $s(t)$ ⇒ blaue Signalverläufe im Vergleich zum Trägersignal $z(t)$ ⇒ rote Schwingungen sowie links das äquivalente Tiefpass–Signal $s_{\rm TP}(t)$ in der komplexen Ebene. Diese Darstellung in der komplexen Ebene bezeichnen wir auch als die „Ortskurve” ⇒ grüne Kurvenverläufe.

Die obere Skizze gilt für die Winkelmodulation. In diesem Fall beschreibt das äquivalente TP–Signal $s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} · e^{ {\rm j}·ϕ(t)}$ einen Kreisbogen, und es ergibt sich eine konstante Einhüllende $a(t) = A_{\rm T}$.

• Die Information über das Quellensignal $q(t)$ steckt bei der Winkelmodulation ausschließlich in der Lage der Nulldurchgänge von $s(t)$.
• Gilt momentan ${\mathbf ϕ}(t)$ < 0, so treten die Nulldurchgänge von $s(t)$ später auf als diejenigen von $z(t)$. Andernfalls – bei ${\mathbf ϕ}(t)$ > 0 – sind die Nulldurchgänge von $s(t)$ gegenüber $z(t)$ vorlaufend.

Die untere Skizze gilt für die im zweiten Kapitel ausführlich behandelte ZSB–Amplitudenmodulation, gekennzeichnet durch

• die zeitabhängige Hüllkurve $a(t)$ entsprechend dem Quellensignal $q(t)$,
• äquidistante Nulldurchgänge von $s(t)$ gemäß dem Trägersignal $z(t)$, und
• eine horizontale Gerade als Ortskurve $s_{\rm TP}(t)$.

Das Kapitel 3 wurde nach folgenden Gesichtspunkten gegliedert:

• Ein jedes FM–System kann durch einfache Modifikationen in ein entsprechendes PM–System übergeführt werden und umgekehrt.
• Größere Bedeutung bei Analogsystemen hat die FM aufgrund des günstigeren Rauschverhaltens. Deshalb werden Realisierungsaspekte für Modulator/Demodulator erst im Kapitel 3.2 behandelt.
• Die Phasenmodulation ist gegenüber der FM leichter zu verstehen. Deshalb werden zunächst die grundlegenden Eigenschaften eines Winkelmodulationssystems am Beispiel der PM dargelegt.

Signalverläufe bei Phasenmodulation (1)

Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit wird im Folgenden stets vorausgesetzt:

• ein cosinusförmiges Trägersignal $z(t) = A_{\rm T} · \cos(ω_{\rm T} · t)$, das heißt die Trägerphase ${\mathbf ϕ}_{\rm T} =$ 0,
• ein spitzenwertbegrenztes Quellensignal in den Grenzen $\ –q_{\rm max} ≤ q(t) ≤ +q_{\rm max}$.

Ist die Phasenfunktion ${\mathbf ϕ}(t)$ proportional dem anliegenden Quellensignal $q(t)$, so spricht man von einer Phasenmodulation, und es gilt: $$\phi(t)= K_{\rm PM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\psi(t)= \omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (\psi(t))\hspace{0.05cm}.$$ Hierbei bezeichnet $K_{\rm PM}$ die dimensionsbehaftete Modulatorkonstante. Beschreibt das Quellensignal $q(t)$ einen Spannungsverlauf, so besitzt diese Konstante die Einheit 1/V.

Die Phasenmodulaton ist um so intensiver,

• je größer die Modulatorkonstante $K_{\rm PM}$ ist, und
• je größer der Maximalwert $q_{\rm max}$ des Quellensignals ist.

Quantitativ erfasst wird dieser Sachverhalt durch den Phasenhub $$ \phi_{\rm max} = K_{\rm PM} \cdot q_{\rm max}\hspace{0.05cm}.$$ Bei einer harmonischen Schwingung wird der Phasenhub auch als Modulationsindex bezeichnet und es gilt mit der Amplitude $A_{\rm N}$ des Quellensignals: $$\eta = \eta_{\rm PM} = K_{\rm PM} \cdot A_{\rm N}\hspace{0.05cm}.$$

Zu dieser Gleichung ist Folgendes anzumerken:

• Der Modulationsindex $η$ ist vergleichbar mit dem Modulationsgrad $m$ bei ZSB–AM.
• In der Ortskurve beschreiben $ϕ_{\rm max}$ bzw. $η$ den halben Winkel des Kreisbogens in „Radian”.
• Bei anderem Quellensignal mit gleichem $η$ – zum Beispiel bei anderer Nachrichtenphase $ϕ_{\rm N}$ – ändert sich die Ortskurve nicht, lediglich die zeitliche Bewegung auf der Ortskurve.
• Der Modulationsindex wird auch zur Beschreibung der Frequenzmodulation herangezogen, doch ist er dann etwas unterschiedlich zu berechnen. Wir unterscheiden deshalb $η_{\rm PM}$ und $η_{\rm FM}$.

Signalverläufe bei Phasenmodulation (2)

Die Grafik zeigt oben das sinusförmige Quellensignal $q(t)$ mit der Frequenz $f_{\rm N} =$ 2 kHz und der Amplitude $A_{\rm N}$ sowie zwei phasenmodulierte Signale (mit dem Parameter $η =$ 1 bzw. $η =$ 3): $$s_\eta(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \left(\omega_{\rm T} \cdot t + \eta \cdot \sin (\omega_{\rm N} \cdot t) \right)\hspace{0.05cm}.$$ Grau gepunktet ist jeweils das cosinusförmige Trägersignal $z(t)$ eingezeichnet $(f_{\rm T} =$ 20 kHz).

Der Modulationsindex $η =$ 1 und damit das Signal $s_1(t)$ ergibt sich z. B. mit $A_{\rm N} =$ 1 V und $K_{\rm PM} =$ 1/V, aber auch mit den Parameterwerten $A_{\rm N} =$ 2 V und $K_{\rm PM} =$ 0.5/V.

• Man erkennt, dass die Nulldurchgänge des Sendesignals $s_1(t)$ und des Trägersignals $z(t)$ genau dann übereinstimmen, wenn $q(t) ≈$ 0 ist.
• Bei $q(t) = +A_{\rm N}$ kommen die Nulldurchgänge von $s_1(t)$ um 1/(2π) ≈ 0.159 einer Trägerperiode $T_0$ früher („vorlaufend”), bei $q(t) = \ –A_{\rm N}$ um den gleichen Bruchteil später („nachlaufend”).
• Erhöht man den Modulationsindex – entweder durch Verdreifachung von $A_{\rm N}$ oder von $K_{\rm PM}$ – auf $η =$ 3, so ergibt sich qualitativ das gleiche Resultat, aber eine intensivere Phasenmodulation.
• Die Nulldurchgänge des Signals $s_3(t)$ sind gegenüber denen des Taktsignals nun um maximal $\rm ±3/(2π) ≈ ±0.5$ einer Trägerperiode verschoben, also bis zu $±T_0/2$.

Äquivalentes TP–Signal bei Phasenmodulation (1)

Als Vorbereitung zur Herleitung des Spektrums $S(f)$ eines phasenmodulierten Signals $s(t)$ wird zunächst das äquivalente TP–Signal $s_{\rm TP}(t)$ analysiert. Dabei gehen wir von folgenden Voraussetzungen aus:

• ein sinusförmiges Quellensignal mit Amplitude $A_{\rm N}$ und Frequenz $f_{\rm N}$,
• ein cosinusförmiges Trägersignal mit Amplitude $A_{\rm T}$ und Frequenz $f_{\rm T}$,
• eine Phasenmodulation mit dem Modulationsindex $η = K_{\rm PM} · A_{\rm N}$.

Damit lauten das phasenmodulierte Signal sowie das dazugehörige äquivalente Tiefpass–Signal: $$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \left(\omega_{\rm T} \cdot t + \eta \cdot \sin (\omega_{\rm N} \cdot t) \right)\hspace{0.05cm},$$ $$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm N} \cdot t) }\hspace{0.05cm}.$$

Dieses Signal ist periodisch und kann somit durch eine komplexe Fourierreihe dargestellt werden. Damit erhält man allgemein: $$s_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_{n} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}.$$

In dem hier betrachteten Sonderfall (sinusförmiges Quellensignal, cosinusförmiger Träger) sind die im Allgemeinen komplexen Fourierkoeffizienten $D_n$ alle reell und wie folgt gegeben: $$D_{n} = A_{\rm T}\cdot {\rm J}_n (\eta) \hspace{0.05cm}. \hspace{1cm} \ ⇒ \rm Herleitung \ dieser \ Gleichung \ (siehe \ nächster \ Abschnitt)$$ Hierbei bezeichnet $J_n(η)$ die Besselfunktion erster Art und n–ter Ordnung. Diese bereits 1844 von Friedrich Wilhelm Bessel 1844 eingeführten mathematischen Funktionen sind wie folgt definiert (erste Gleichung) und können gemäß der zweiten Gleichung durch eine Reihe angenähert werden: $${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (\eta/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$

Die nebenstehende Grafik zeigt die jeweils ersten drei Summanden $(k =$ 0, 1, 2) der Reihen $J_0(η), ... , J_3(η).$ Der rot umrandete Term – gültig für $n =$ 3 und $k =$ 2 – lautet beispielsweise in ausgeschriebener Form: $$\frac{(-1)^2 \cdot (\eta/2)^{3 \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}2}}{2\hspace{0.05cm}! \cdot (3+2)\hspace{0.05cm}!} = \frac{1}{240}\cdot (\frac{\eta}{2})^7 \hspace{0.05cm}.$$

Die Besselfunktionen $J_n(η)$ findet man aber auch in Formelsammlungen. Oder hier: Werte der Besselfunktion erster Art und n–ter Ordnung

Sind die Funktionswerte für $n =$ 0 und $n =$ 1 bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für $n ≥$ 2 iterativ ermittelt werden: $${\rm J}_n (\eta) ={2 \cdot (n-1)}/{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$

Äquivalentes TP–Signal bei Phasenmodulation (2)

Nun soll mathematisch nachgewiesen werden, dass das äquivalente TP–Signal bei Phasenmodulation tatsächlich in die folgende Funktionsreihe umgewandelt werden kann: $$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm N} \cdot t) } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$

Beweis: Wir setzen vereinfachend $A_{\rm T} =$ 1. Damit lautet das gegebene äquivalente TP–Signal: $$s_{\rm TP}(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm N} \cdot t) }\hspace{0.05cm}.$$

1. Mit $x = {\rm j} · η · \sin(γ)$ und $γ = ω_{\rm N} · t$ lautet die Potenzreihenentwicklung dieser Gleichung: $$\begin{align*}s_{\rm TP}(t) & = {\rm e}^{x } = 1 + x + \frac{1}{2!} \cdot x^2 + \frac{1}{3!} \cdot x^3 + ... = \\ & = 1 + {\rm j} \cdot \eta \cdot \sin (\gamma)+ \frac{1}{2!} \cdot {\rm j}^2 \cdot \eta^2 \cdot \sin^2 (\gamma)+ \frac{1}{3!} \cdot {\rm j}^3 \cdot \eta^3 \cdot \sin^3 (\gamma) + ...\end{align*}$$

2. Die einzelnen trigonometrischen Ausdrücke können wie folgt umgeformt werden: $$\begin{align*}\frac{1}{2!} \cdot {\rm j}^2 \cdot \eta^2 \cdot \sin^2 (\gamma) & = \frac{- \eta^2}{2 \cdot 2!} \cdot \left[ 1 - \cos (2\gamma)\right],\\ \frac{1}{3!} \cdot {\rm j}^3 \cdot \eta^3 \cdot \sin^3 (\gamma) & = \frac{- {\rm j} \cdot \eta^3}{4 \cdot 3!} \cdot \left[ 3 \cdot \sin (\gamma)- \sin (3\gamma)\right],\\ \frac{1}{4!} \cdot {\rm j}^4 \cdot \eta^4 \cdot \sin^4 (\gamma) & = \frac{\eta^4}{8 \cdot 4!} \cdot \left[ 3+ 4 \cdot \cos (2\gamma)+ \cos (4\gamma)\right],\\ \ & ... \end{align*}$$

3. Durch Umordnen erhält man mit $J_n(η)$, den Besselfunktionen erster Art und $n$–ter Ordnung: $$\begin{align*}s_{\rm TP}(t) = 1 \cdot {\rm J}_0 (\eta) & + 2 \cdot {\rm j}\cdot {\rm J}_1 (\eta)\cdot \sin (\gamma) \hspace{0.2cm} + 2 \cdot {\rm J}_2 (\eta)\cdot \cos (2\gamma) +\\ & + 2 \cdot {\rm j}\cdot {\rm J}_3 (\eta)\cdot \sin (3\gamma)+ 2 \cdot {\rm J}_4 (\eta)\cdot \cos (4\gamma) + ...\end{align*}$$

4. Mit dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden: $$\begin{align*} s_{\rm TP}(t) = {\rm J}_0 (\eta)& + \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} \right]\cdot {\rm J}_1 (\eta) \hspace{0.27cm} +\left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} \right]\cdot {\rm J}_2 (\eta)+\\ & + \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 3\gamma} - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 3\gamma} \right]\cdot {\rm J}_3 (\eta)+ \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 4\gamma} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 4\gamma} \right]\cdot {\rm J}_4 (\eta)+ ...\end{align*}$$

5. Die Besselfunktionen zeigen folgende Symmetrieeigenschaften: $${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)$$ $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm J}_{-1} (\eta) = -{\rm J}_{1} (\eta),\hspace{0.3cm}{\rm J}_{-2} (\eta) = {\rm J}_{2} (\eta),\hspace{0.3cm}{\rm J}_{-3} (\eta) = -{\rm J}_{3} (\eta),\hspace{0.3cm}{\rm J}_{-4} (\eta) = {\rm J}_{4} (\eta).$$

6. Berücksichtigt man diesen Sachverhalt und den bisher weggelassenen Faktor $A_{\rm T}$, so erhält man $$s_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$

q.e.d.