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Revision as of 21:10, 26 June 2016

Definition der Korrelationsfunktionen

Wichtige Beurteilungskriterien für Spreizfolgen sind die Korrelationsfunktionen. Betrachtet man zwei ergodische Prozesse mit den Musterfunktionen $x(t)$ und $y(t)$, so gilt für die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) der beiden Prozesse (siehe Kapitel 4.6 im Buch „Stochastische Signaltheorie”): $$\varphi_{xy}(\tau)=\overline{x(t)\cdot y(t+\tau)}=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}x(t)\cdot y(t+\tau)\,\,\rm d \it t.$$

Die überstreichende Linie kennzeichnet hierbei eine Zeitmittelung.

$φ){xy}(τ)$ ist ein quantitatives Maß für die lineare statistische Abhängigkeit der Augenblickswerte von Musterfunktionen $x(t)$ und $y(t + τ)$ der beiden Zufallsprozesse und dient somit der Beschreibung der statistischen Verwandtschaft zwischen diesen. Es gilt:

Sind $x(t)$ und $y(t)$ unkorreliert, so ist $φ_{xy}(τ)$ identisch 0 (das heißt für alle Werte von $τ$).
Im allgemeinen ist $φ_{xy}(τ)$ nicht symmetrisch, sondern das KKF–Maximum tritt bei $τ_{\rm max} ≠$ 0 auf.
In diesem Fall ergibt sich die maximale Korrelation durch eine gegenseitige Verschiebung der beiden betrachteten Signale um die Zeit $τ_{\rm max}$.

Setzt man in obiger Gleichung $y(t) = x(t)$, so kommt man zur Autokorrelationsfunktion (AKF) $$ \varphi_{xx}(\tau)=\overline{x(t)\cdot x(t+\tau)}=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}x(t)\cdot x(t+\tau)\,\,\rm d \it t$$

mit folgenden Eigenschaften:

Die AKF ist ein Maß für die inneren statistischen Bindungen eines durch die Musterfunktion $x(t)$ festgelegten stationären und ergodischen Prozesses.
Ist $x(t)$ reell, so ist $φ_{xx}(τ)$ eine reelle gerade Funktion: $φ_{xx}(–τ) = φ_{xx}(τ)$. Phasenbeziehungen gehen in der AKF verloren. Beschreibt $x(t)$ einen komplexen Prozesse, so ist auch die AKF komplex.
Der Maximalwert der AKF liegt bei $τ =$ 0. Es gilt stets $|φ_{xx}(τ)| ≤ φ_{xx}(0),$ wobei $φ_{xx}(0)$ die Signalleistung $P_x = E[x^2(t)]$ angibt.
Der Gleichanteil eines Signals kann aus dem Grenzwert $(τ → ∞)$ ermittelt werden, so lange das Signal keine periodischen Anteile beinhaltet:

$$\overline{ x(t)} = {\rm E}[x(t)] = \sqrt{\lim_{\tau\to\infty}\,\varphi_{xx} (\tau)} \hspace{0.05cm}.$$

AKF und KKF beschreiben die inneren Bindungen bzw. die gegenseitigen statistischen Abhängigkeiten im Zeitbereich. Die entsprechenden Beschreibungsfunktionen im Frequenzbereich sind

das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_{xx}(f)$, sowie
das Kreuzleistungsdichtespektrum ${\it Φ}_{xy}(f)$.

Bei ergodischen Prozessen ergeben sich diese als die Fouriertransformierten von AKF und KKF: $${\it \Phi}_{xx}(f) \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}\varphi_{xx}(\tau)\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.3cm} {\it \Phi}_{xy}(f) \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}\varphi_{xy}(\tau)\hspace{0.05cm}.$$

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 ==Definition der Korrelationsfunktionen==
 Wichtige Beurteilungskriterien für Spreizfolgen sind die Korrelationsfunktionen. Betrachtet man zwei ergodische Prozesse mit den Musterfunktionen $x(t)$ und $y(t)$, so gilt für die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) der beiden Prozesse (siehe Kapitel 4.6 im Buch „Stochastische Signaltheorie”):
-$$
+$$\varphi_{xy}(\tau)=\overline{x(t)\cdot y(t+\tau)}=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}x(t)\cdot y(t+\tau)\,\,\rm d \it t.$$
+Die überstreichende Linie kennzeichnet hierbei eine ''Zeitmittelung.''
+$φ){xy}(τ)$ ist ein quantitatives Maß für die lineare statistische Abhängigkeit der Augenblickswerte von Musterfunktionen $x(t)$ und $y(t + τ)$ der beiden Zufallsprozesse und dient somit der Beschreibung der statistischen Verwandtschaft zwischen diesen. Es gilt:
+*Sind $x(t)$ und $y(t)$ unkorreliert, so ist $φ_{xy}(τ)$ identisch 0 (das heißt für alle Werte von $τ$).
+*Im allgemeinen ist $φ_{xy}(τ)$ nicht symmetrisch, sondern das KKF–Maximum tritt bei $τ_{\rm max} ≠$ 0 auf.
+*In diesem Fall ergibt sich die maximale Korrelation durch eine gegenseitige Verschiebung der beiden betrachteten Signale um die Zeit $τ_{\rm max}$.
+Setzt man in obiger Gleichung $y(t) = x(t)$, so kommt man zur Autokorrelationsfunktion (AKF)
+$$ \varphi_{xx}(\tau)=\overline{x(t)\cdot x(t+\tau)}=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}x(t)\cdot x(t+\tau)\,\,\rm d \it t$$
+mit folgenden Eigenschaften:
+*Die AKF ist ein Maß für die inneren statistischen Bindungen eines durch die Musterfunktion $x(t)$ festgelegten stationären und ergodischen Prozesses.
+*Ist $x(t)$ reell, so ist $φ_{xx}(τ)$ eine reelle gerade Funktion: $φ_{xx}(–τ) = φ_{xx}(τ)$. Phasenbeziehungen gehen in der AKF verloren. Beschreibt $x(t)$ einen komplexen Prozesse, so ist auch die AKF komplex.
+*Der Maximalwert der AKF liegt bei $τ =$ 0. Es gilt stets $|φ_{xx}(τ)| ≤ φ_{xx}(0),$ wobei $φ_{xx}(0)$ die Signalleistung $P_x = E[x^2(t)]$ angibt.
+*Der Gleichanteil eines Signals kann aus dem Grenzwert $(τ → ∞)$ ermittelt werden, so lange das Signal keine periodischen Anteile beinhaltet:
+$$\overline{ x(t)} =  {\rm E}[x(t)] = \sqrt{\lim_{\tau\to\infty}\,\varphi_{xx} (\tau)} \hspace{0.05cm}.$$
+AKF und KKF beschreiben die inneren Bindungen bzw. die gegenseitigen statistischen Abhängigkeiten im Zeitbereich. Die entsprechenden Beschreibungsfunktionen im Frequenzbereich sind
+*das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_{xx}(f)$, sowie
+*das Kreuzleistungsdichtespektrum ${\it Φ}_{xy}(f)$.
+Bei ergodischen Prozessen ergeben sich diese als die Fouriertransformierten von AKF und KKF:
+$${\it \Phi}_{xx}(f)  \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}\varphi_{xx}(\tau)\hspace{0.05cm}  ,\hspace{0.3cm} {\it \Phi}_{xy}(f)  \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}\varphi_{xy}(\tau)\hspace{0.05cm}.$$