Definition der Korrelationsfunktionen
Wichtige Beurteilungskriterien für Spreizfolgen sind die Korrelationsfunktionen. Betrachtet man zwei ergodische Prozesse mit den Musterfunktionen $x(t)$ und $y(t)$, so gilt für die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) der beiden Prozesse (siehe Kapitel 4.6 im Buch „Stochastische Signaltheorie”): $$\varphi_{xy}(\tau)=\overline{x(t)\cdot y(t+\tau)}=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}x(t)\cdot y(t+\tau)\,\,\rm d \it t.$$
Die überstreichende Linie kennzeichnet hierbei eine Zeitmittelung.
$φ){xy}(τ)$ ist ein quantitatives Maß für die lineare statistische Abhängigkeit der Augenblickswerte von Musterfunktionen $x(t)$ und $y(t + τ)$ der beiden Zufallsprozesse und dient somit der Beschreibung der statistischen Verwandtschaft zwischen diesen. Es gilt:
- Sind $x(t)$ und $y(t)$ unkorreliert, so ist $φ_{xy}(τ)$ identisch 0 (das heißt für alle Werte von $τ$).
- Im allgemeinen ist $φ_{xy}(τ)$ nicht symmetrisch, sondern das KKF–Maximum tritt bei $τ_{\rm max} ≠$ 0 auf.
- In diesem Fall ergibt sich die maximale Korrelation durch eine gegenseitige Verschiebung der beiden betrachteten Signale um die Zeit $τ_{\rm max}$.
Setzt man in obiger Gleichung $y(t) = x(t)$, so kommt man zur Autokorrelationsfunktion (AKF)
$$ \varphi_{xx}(\tau)=\overline{x(t)\cdot x(t+\tau)}=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}x(t)\cdot x(t+\tau)\,\,\rm d \it t$$
mit folgenden Eigenschaften:
- Die AKF ist ein Maß für die inneren statistischen Bindungen eines durch die Musterfunktion $x(t)$ festgelegten stationären und ergodischen Prozesses.
- Ist $x(t)$ reell, so ist $φ_{xx}(τ)$ eine reelle gerade Funktion: $φ_{xx}(–τ) = φ_{xx}(τ)$. Phasenbeziehungen gehen in der AKF verloren. Beschreibt $x(t)$ einen komplexen Prozesse, so ist auch die AKF komplex.
- Der Maximalwert der AKF liegt bei $τ =$ 0. Es gilt stets $|φ_{xx}(τ)| ≤ φ_{xx}(0),$ wobei $φ_{xx}(0)$ die Signalleistung $P_x = E[x^2(t)]$ angibt.
- Der Gleichanteil eines Signals kann aus dem Grenzwert $(τ → ∞)$ ermittelt werden, so lange das Signal keine periodischen Anteile beinhaltet:
$$\overline{ x(t)} = {\rm E}[x(t)] = \sqrt{\lim_{\tau\to\infty}\,\varphi_{xx} (\tau)} \hspace{0.05cm}.$$
AKF und KKF beschreiben die inneren Bindungen bzw. die gegenseitigen statistischen Abhängigkeiten im Zeitbereich. Die entsprechenden Beschreibungsfunktionen im Frequenzbereich sind
- das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_{xx}(f)$, sowie
- das Kreuzleistungsdichtespektrum ${\it Φ}_{xy}(f)$.
Bei ergodischen Prozessen ergeben sich diese als die Fouriertransformierten von AKF und KKF:
$${\it \Phi}_{xx}(f) \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}\varphi_{xx}(\tau)\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.3cm} {\it \Phi}_{xy}(f) \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm}\varphi_{xy}(\tau)\hspace{0.05cm}.$$
Periodische AKF und KKF
Hinweis: Im Folgenden schreiben wir wie im Buch „Stochastische Signaltheorie” vereinfachend für die AKF $φ_x(τ)$ anstelle von $φ_{xx}(τ)$ und für das LDS ${\it Φ}_x(f)$ anstelle von ${\it Φ}_{xx}(f)$.
Bei periodischen Signalen kann auf den Grenzübergang bei der AKF– und der KKF–Berechnung verzichtet werden, und man erhält mit der Periodendauer $T_0$ (diese muss für beide Signale gleich sein): $$\begin{align*}\varphi_{x}(\tau) & = \frac{1}{T_{\rm 0}}\cdot\int^{T_0}_{0}x(t)\cdot x(t+\tau)\,\,\rm d \it t\hspace{0.05cm} ,\\ \varphi_{xy}(\tau) & = \frac{1}{T_{\rm 0}}\cdot\int^{T_0}_{0}x(t)\cdot y(t+\tau)\,\,\rm d \it t\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$ In diesem Fall ist die AKF ebenfalls eine periodische Funktion, und man spricht von der periodischen Autokorrelationsfunktion (PAKF). Diese zeigt folgende Einenschaft: $$\varphi_{x}(\pm T_0) = \varphi_{x}(\pm 2T_0) = ... = \varphi_{x}(0) \hspace{0.05cm}.$$ Wir wenden nun obige Berechnungsvorschrift auf das Spreizsignal $$ c(t) = \sum\limits^{+\infty}_{\nu = -\infty}c_\nu\cdot g_c(t - \nu \cdot T_c)$$ an, wobei ein Rechteckimpuls $g_c(t)$ der Breite $T_c$ vorausgesetzt wird; $T_c$ nennt man die Chipdauer. Berücksichtigt man die Periodizität $(T_0 = P · T_c)$ der Amplitudenkoeffizienten $c_ν ∈$ {±1}, so ergeben sich die diskreten AKF–Werte bei Vielfachen von $T_c$ mit dem Parameter $λ$: $$\varphi_{c}(\lambda \cdot T_c) = \frac{1}{P}\cdot\sum\limits^{P-1}_{\nu = 0} c_\nu \cdot c_{\nu+ {\it \lambda} }\hspace{0.05cm}.$$ Der maximale PAKF–Wert ergibt sich für $λ =$ 0 und für Vielfache der Periodenlänge $P$. Aufgrund des rechteckigen Impulses $g_c(t)$ ist der PAKF–Verlauf zwischen zwei Abtastwerten $λ · T_c$ und $(λ + 1) · T_c$ stets linear. Entsprechend ist die periodische Kreuzkorrelationsfunktion (PKKF) zwischen den zwei unterschiedlichen Spreizfolgen $〈c_ν〉$ und $〈c_ν'〉$ gleicher Periodenlänge $P$ wie folgt gegeben: $$\varphi_{cc'}(\lambda \cdot T_c) = \frac{1}{P}\cdot\sum\limits^{P-1}_{\nu = 0} c_\nu \cdot c\hspace{0.02cm}'_{\nu+ \lambda }\hspace{0.05cm}.$$
Weitere Informationen zu diesem Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Kapitel 9 (Programm „stp”) des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik” am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der TU München. Diese Lehrveranstaltung basiert auf den 24 DOS–Programmen des Lehrsoftwarepaketes LNTsim.
Herunterladen des Programmpakets LNTsim (Zip–Version)
Herunterladen der dazugehörigen Texte (PDF–Datei) (PDF–Datei mit Kapitel 9)
