Signal Representation/Direct Current Signal - Limit Case of a Periodic Signal

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Time Signal Representation

$\text{Definition:}$  A  direct current (DC) signal   is a deterministic signal whose instantaneous values are constant for all times  $t$  from  $-\infty$  to  $+\infty$ . Such a signal is the boundary case of a  harmonic oscillation, where the period duration  $T_{0}$  has an infinitely large value.

Direct Current Signal in Time Domain

According to this definition a DC signal always ranges from  $t = -\infty$  to  $t = +\infty$. If the signal is only switched on at the time  $t = 0$  there is no DC signal.

• A direct signal can never be a carrier of information in the message-technical sense, but message signals can possess a  direct signal part .
• All statements made in the following for the direct current signal apply in the same way also to such a direct signal component.

$\text{Definition:}$  For the  DC signal component  $A_{0}$ of any signal  $x(t)$  applies:

$$A_0 = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M} }\cdot\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\,{\rm d} t. $$

• The measurement duration  $T_{\rm M}$  should always be selected as large as possible (infinite in borderline cases).
• The given equation is only valid if  $T_{\rm M}$  symmetrical about the time  $t=0$  lies.

Random signal with DC componentsl

$\text{Example 1:}$  The graph shows a stochastic signal  $x(t)$.

• The DC component  $A_{0}$  is here  $2\ \rm V$.
• In the sense of statistics,  $A_{0}$  corresponds to the linear mean value.

Spectral Representation

We now look at the situation in the frequency domain. From the time function it is already obvious, that it contains - spectrally speaking - only one single (physical) frequency, namely the frequency  $f=0$.

This result shall now be derived mathematically. In anticipation of the chapter  Fouriertransformation  the connection between the time signal  $x(t)$  and the corresponding spectrum  $X(f)$  is already given here:

$$X(f)= \hspace{0.05cm}\int_{-\infty} ^{{+}\infty} x(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$

The spectral function  $X(f)$  after the French mathematician  Jean Baptiste Joseph Fourier  is called the Fourier transform of  $x(t)$  and the short name for this functional relation is

$$X(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x(t).$$

For example, if   $x(t)$  describes a voltage curve, so  $X(f)$  has the unit "V/Hz

Applying this transformation equation to the DC signal  $x(t)=A_{0}$  yields the spectral function

$$X(f)= A_0 \cdot \int_{-\infty} ^{+\hspace{0.01cm}\infty}\rm e \it ^{-\rm {j 2\pi} \it ft} \,{\rm d}t.$$

with the following properties:

• The integral diverges for  $f=0$, i.e. it returns an infinitely large value (integration over the constant value 1)
• For a frequency  $f\ne 0$  on the other hand, the integral is zero; the corresponding proof, however, is not trivial (see next page).

$\text{Definition:}$  The searched spectral function  $X(f)$  is compactly expressed by the following equation

$$X(f) = A_0 \, \cdot \, \rm \delta(\it f).$$

•   $\delta(f)$  is denoted as the  '’'Dirac function, also known as "distribution".
• $\delta(f)$  is a mathematically complicated function; the derivation can be found on the next page.

DC Signal and its Spectral Function

$\text{Example 2:}$  The graphic shows the functional connection

• between an DC signal  $x(t)=A_{0}$  and
• its corresponding spectral function  $X(f)=A_{0} \cdot \delta(f)$.

The Dirac function at frequency  $f=0$  is represented by an arrow with the weight  $A_{0}$ 

Dirac Function in Frequency Domain

$\text{Definition:}$  Die für die funktionale Beschreibung von nachrichtentechnischen Systemen äußerst wichtige  Diracfunktion  weist folgende Eigenschaften auf:

• Die Diracfunktion ist unendlich schmal, das heißt, es ist  $\delta(f)=0$  für  $f \neq 0$.
• Die Diracfunktion  $\delta(f)$  ist bei der Frequenz  $f = 0$  unendlich hoch.
• Die Impulsfläche der Diracfunktion ergibt einen endlichen Wert, nämlich  $1$:

$$\int_\limits{-\infty} ^{+\infty} \delta( f)\,{\rm d}f =1.$$

• Aus dieser letzten Eigenschaft folgt, dass  $\delta(f)$  die Einheit  ${\rm Hz}^{-1} = {\rm s}$  besitzt.

The Derivation of the Dirac Function

$\text{Proof:}$  Zur mathematischen Herleitung obiger Eigenschaften gehen wir von einem dimensionslosen Gleichsignal aus.

Um die Konvergenz des Fourierintegrals zu erzwingen, wird das nicht energiebegrenzte Signal  $x(t)$  mit einer beidseitig abfallenden Exponentialfunktion multipliziert. Die Grafik zeigt das Signal  $x(t)=1$  und das energiebegrenzte Signal

$$x_{\varepsilon} (t) = \rm e^{\it -\varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.01cm} t \hspace{0.01cm}\vert}{.}$$

Hierbei gelte  $\varepsilon > 0$. Im Grenzübergang  $\varepsilon \to 0$  geht  $x_{\varepsilon}(t)$  in  $x(t)=1$  über.

Zur Spektraldarstellung kommt man durch Anwendung des vorne angegebenen Fourierintegrals:

$$X_\varepsilon (f)=\int_{-\infty}^{0} {\rm e}^{\varepsilon{t} }\, {\cdot}\, {\rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t \hspace{0.2cm}+ \hspace{0.2cm} \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{-\varepsilon t} \,{\cdot}\, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$

Nach Integration und Zusammenfassen beider Anteile erhalten wir die rein reelle Spektralfunktion des energiebegrenzten Signals  $x_{\varepsilon}(t)$:

$$X_\varepsilon (f)=\frac{1}{\varepsilon -\rm j \cdot 2\pi \it f} + \frac{1}{\varepsilon+\rm j \cdot 2\pi \it f} = \frac{2\varepsilon}{\varepsilon^2 + (\rm 2\pi {\it f}\hspace{0.05cm} ) \rm ^2} \, .$$

Die Fläche unter der  $X_\varepsilon (f)$–Kurve ist unabhängig vom Parameter  $\varepsilon$  gleich  $1$. Je kleiner  $ε$  gewählt wird, um so schmaler und höher wird die Funktion, wie das Lernvideo  Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion  zeigt.

Der Grenzübergang für  $\varepsilon \to 0$  liefert die Diracfunktion mit dem Gewicht  $1$:

$$\lim_{\varepsilon \hspace{0.05cm} \to \hspace{0.05cm} 0}X_\varepsilon (f)= \delta(f).$$

Exercises for the chapter

Aufgabe 2.2: Gleichsignalanteile

Aufgabe 2.2Z: Nichtlinearitäten