Theory of Stochastic Signals/Cumulative Distribution Function

1. Theory of Stochastic Signals
2. Kontinuierliche Zufallsgrößen
3. Cumulative Distribution Function

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VTF bei kontinuierlichen Zufallsgrößen (1)

Zur Beschreibung von Zufallsgrößen wird neben der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion auch häufig die Verteilungsfunktion (VTF) herangezogen, die wie folgt definiert ist:

Die Verteilungsfunktion $F_{\rm x}(r)$ entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $x$ kleiner oder gleich einem reellen Zahlenwert $r$ ist: $$F_{\rm x}(\it r)= \rm Pr(\it x \le r).$$

Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße sind bezüglich der VTF folgende Aussagen möglich:

• Die Verteilungsfunktion ist aus der WDF $f_{\rm x}(x)$ durch Integration berechenbar. Es gilt:

$$F_{\rm x}(r) \rm = \int_{-\infty}^{r}f_x(x)\,{\rm d}x.$$

• Da die WDF nie negativ ist, steigt $F_{\rm x}(r)$ zumindest schwach monoton an, und liegt stets zwischen den beiden Grenzwerten $F_{\rm x}(r → \hspace{0.05cm} – \hspace{0.05cm} ∞) =$ 0 und $F_{\rm x}(r → +∞) =$ 1.
• Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch Differentiation bestimmen:

$$f_{\rm x}(x)=\frac{\rm d\it F_{\rm x}(r)}{\rm d \it r}\Bigg |_{\hspace{0.1cm}r=x}.$$

Der Zusatz $„r = x”$ macht deutlich, dass bei unserer Nomenklatur das Argument der WDF die Zufallsgröße selbst ist, während das VTF–Argument eine beliebige reelle Variable $r$ ist.

Hinweise zur Nomenklatur: Hätten wir wie bei WDF und VTF zwischen Zufallsgröße $X$ und Realisierungen $x ∈ X$ unterschieden ⇒ $f_{\rm X}(x), F_{\rm X}(x),$ so ergäbe sich folgende Nomenklatur: $$F_{\rm X}(\it x)= \rm Pr(\it X \le x) = \int_{-\infty}^{x}f_{\rm x}(\xi)\,{\rm d}\xi.$$

Leider haben wir uns zu Beginn unseres LNTwww–Projektes (2001) für die obige Nomenklatur entschieden, was nun (2016) nicht mehr zu ändern ist, auch im Hinblick der realisierten Lernvideos. Wir bleiben also bei $„f_{\rm x}(x)”$ anstelle von $„f_{\rm X}(x)”$ sowie $„F_{\rm x}(r)”$ anstelle von $„F_{\rm X}(x)”.$

VTF bei kontinuierlichen Zufallsgrößen (2)

Das linke Bild zeigt das Foto Lena, das häufig als Testvorlage für Bildcodierverfahren dient. Wird dieses Bild in 256 × 256 Bildpunkte (Pixel) unterteilt, und ermittelt man für jedes einzelne Pixel die Helligkeit, so erhält man eine Folge $〈x_ν〉$ von Grauwerten, deren Länge $N = 256^2 = 65536$ beträgt. Der Grauwert $x$ ist dabei eine wertkontinuierliche Zufallsgröße, wobei die Zuordnung zu Zahlenwerten willkürlich erfolgt. Beispielsweise sei „Schwarz” durch den Wert $x =$ 0 und „Weiß” durch $x =$ 1 charakterisiert. Der Zahlenwert $x =$ 0.5 kennzeichnet dann eine mittlere Graufärbung.

Im mittleren Bild ist die WDF $f_{\rm x}(x)$ dargestellt, die in der Literatur auch oft als Grauwertstatistik bezeichnet wird. Es ist ersichtlich, dass im Originalbild einige Grauwerte bevorzugt sind und die beiden Extremwerte $x =$ 0 („tiefes Schwarz”) bzw. $x =$ 1 („reines Weiß”) nur sehr selten auftreten. Die Verteilungsfunktion $F_{\rm x}(r)$ dieser kontinuierlichen Zufallsgröße ist stetig und steigt, wie das rechte Bild zeigt, von 0 auf 1 monoton und stetig an.

Anmerkung: Genau genommen ist bei einem am Computer darstellbaren Bild – im Gegensatz zu einem echten Foto – der Grauwert stets eine diskrete Zufallsgröße. Bei großer Auflösung der Farbinformation („Farbtiefe”) kann man diese Zufallsgröße allerdings näherungsweise als kontinuierlich betrachten.

Die in diesem Abschnitt behandelte Thematik ist in einem Lernvideo zusammengefasst: Zusammenhang zwischen WDF und VTF (2-teilig: Dauer 6:40 – 3:20)