Theory of Stochastic Signals/Matched Filter

1. Theory of Stochastic Signals
2. Filterung stochastischer Signale
3. Matched Filter

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Optimierungskriterium des Matched–Filters

$\text{Definition:}$  Das  Matched-Filter  – auch Korrelationsfilter  genannt – dient zum Nachweis der Signalexistenz.

Blockschaltbild des Matched-Filter-Empfängers

• Der  Matched-Filter-Empfänger  kann mit größtmöglicher Sicherheit – anders ausgedrückt:   mit maximalem SNR – entscheiden, ob ein durch additives Rauschen  $n(t)$  gestörtes impulsförmiges Nutzsignal  $g(t)$  vorhanden ist oder nicht.

• Zur Herleitung des Matched-Filter-Empfängers wird die skizzierte Anordnung betrachtet.

Für die einzelnen Komponenten gelten folgende Voraussetzungen:

• Der Nutzanteil  $g(t)$  des Empfangssignals  $r(t)=g(t)+n(t)$  sei impulsförmig und somit  energiebegrenzt.
• Das heißt:   Das Integral über  $\big [g(t)\big ]^2$  von  $–∞$  bis  $+∞$  liefert den endlichen Wert  $E_g$.
• Das Störsignal  $n(t)$  sei  Weißes Gaußsches Rauschen  mit der Rauschleistungsdichte  $N_0$.
• Das Filterausgangssignal  $d(t)$  setzt sich additiv aus zwei Anteilen zusammen.  Der Anteil  $d_{\rm S}(t)$  geht auf das  $\rm S$ignal  $g(t)$  zurück, der Anteil  $d_{\rm N}(t)$  auf das  $\rm N$oise  $n(t)$.
• Der Empfänger, bestehend aus einem linearen Filter   ⇒   Frequenzgang  $H_{\rm MF}(f)$  und dem Entscheider, ist so zu dimensionieren, dass das momentane S/N-Verhältnis am Ausgang maximal wird:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {d_{\rm S} ^2 ( {T_{\rm D} } )} }{ {\sigma _d ^2 } }\mathop = \limits^{\rm{!} }\hspace{0.1cm} {\rm{Maximum} }.$$

• Hierbei bezeichnen  $σ_d^2$  die  Varianz  (Leistung) von $d_{\rm N}(t)$ und  $T_{\rm D}$  den (geeignet gewählten)  Detektionszeitpunkt.

Matched-Filter-Optimierung

Gegeben sei ein energiebegrenztes Nutzsignal  $g(t)$  mit dem zugehörigen Spektrum  $G(f)$.

• Damit kann das Filterausgangssignal zum Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D}$  für jedes beliebige Filter mit der Impulsantwort  $h(t)$  und dem Frequenzgang  $H(f) =\mathcal{ F}\{h(t)\}$ wie folgt geschrieben werden  (ohne Berücksichtigung des Rauschens   ⇒   Index  $\rm S$  für „Signal”):

$$d_{\rm S} ( {T_{\rm D} } ) = g(t) * h(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e}}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }\hspace{0.1cm} {\rm{d}}f} .$$

• Der  „Rauschanteil”  $d_{\rm N}(t)$  des Filterausgangssignals  (Index  $\rm N$  für „Noise”) rührt allein vom Weißen Rauschen  $n(t)$  am Eingang des Empfängers her.  Für seine Varianz (Leistung) gilt unabhängig vom Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D}$:

$$\sigma _d ^2 = \frac{ {N_0 } }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H(f)} \right|^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} .$$

• Damit lautet das hier vorliegende Optimierungsproblem:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left| {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e} }^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } \right|^2 } }{ {N_0 /2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H(f)} \right|^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } } \stackrel{!}{=} {\rm{Maximum} }.$$

$\text{Hier zunächst ohne Beweis:}$    Man kann zeigen, dass dieser Quotient für den folgenden Frequenzgang  $H(f)$  am größten wird:

$$H(f) = H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } . $$

• Damit erhält man für das Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis am Matched–Filter–Ausgang  $($unabhängig von der dimensionsbehafteten Konstante  $K_{\rm MF})$:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = { {2 \cdot E_g } }/{ {N_0 } }.$$

• $E_g$ bezeichnet die Energie des Eingangsimpulses, die man nach dem  Satz von Parseval  sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich berechnen kann:

$$E_g = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g^2 (t)\hspace{0.1cm}{\rm{d} }t} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right\vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm d}f} .$$

$\text{Beispiel 1:}$   Ein rechteckförmiger Impuls  $g(t)$  mit Amplitude  $\rm 1\hspace{0.05cm}V$,  Dauer  $0.5\hspace{0.05cm} \rm ms$  und unbekannter Lage soll in einer verrauschten Umgebung aufgefunden werden.

• Somit ist die Impulsenergie  $E_g = \rm 5 · 10^{–4} \hspace{0.05cm}V^2s$.
• Die Rauschleistungsdichte sei  $N_0 = \rm 10^{–6} \hspace{0.05cm}V^2/Hz$.

Das beste Ergebnis   ⇒   das  maximale S/N–Verhältnis  erzielt man mit dem Matched-Filter:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {2 \cdot E_g } }{ {N_0 } } = \frac{ {2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}\, {\rm V^2\,s} } }{ {10^{-6}\, {\rm V^2/Hz} } } = 1000 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = 30\,{\rm dB}.$$

Das oben angegebene Matched–Filter–Kriterium wird nun schrittweise hergeleitet.  Wenn Sie daran nicht interessiert sind, so springen Sie bitte zur Fortsetzungsseite  Interpretation des Matched–Filters.

$\text{Herleitung des Matched–Filter–Kriteriums:}$ 

$(1)$  Die Schwarzsche Ungleichung lautet mit den beiden (im allgemeinen komplexen) Funktionen  $A(f)$  und  $B(f)$:

$$\left \vert {\int_a^b {A(f) \cdot B(f)\hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} } \right \vert ^2 \le \int_a^b {\left \vert {A(f)} \right \vert^{\rm{2} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} \cdot \int_a^b {\left\vert {B(f)} \right \vert^{\rm{2} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} .$$

$(2)$  Wir wenden nun diese Gleichung auf das Signal–zu–Rauschverhältnis an:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left \vert {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {G(f) \cdot H(f) \cdot {\rm{e} }^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } \hspace{0.1cm}{\rm{d} }f} } \right \vert^2 } }{ {N_0 /2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {H(f)} \right \vert^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } }.$$

$(3)$  Mit  $A(f) = G(f)$  und  $B(f) = H(f) · {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }$  ergibt sich somit die folgende Schranke:

$$\rho_d ( {T_{\rm D} } ) \le \frac{1}{ {N_0 /2} } \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert^{\rm{2} } }\hspace{0.1cm}{\rm{d} }f .$$

$(4)$  Wir setzen für den Filterfrequenzgang nun versuchsweise ein:

$$H(f) = H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} }.$$

$(5)$  Dann erhält man aus der obigen Gleichung  $(2)$  folgendes Ergebnis:

$$\rho _d ( {T_{\rm D} } ) = \frac{ {\left \vert K_{\rm MF}\cdot {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } \right \vert ^2 } }{ {N_0 /2 \cdot K_{\rm MF} ^2 \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} } } = \frac{1}{ {N_0 /2} } \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left \vert {G(f)} \right \vert ^{\rm{2} }\hspace{0.1cm} {\rm{d} }f} .$$

$\text{Das heißt:}$

• Mit dem Ansatz  $(4)$  für das Matched–Filter $H_{\rm MF}(f)$ wird in obiger Abschätzung tatsächlich der maximal mögliche Wert erreicht.
• Mit keinem anderen Filter  $H(f) ≠ H_{\rm MF}(f)$  kann man ein höheres Signal–zu–Rauschleistungsverhältnis erzielen.
• Das Matched–Filter ist in Bezug auf das ihm zugrunde gelegte Maximierungskriterium optimal.

q.e.d.

Interpretation des Matched-Filters

Auf der letzten Seite wurde der Frequenzgang des Matched-Filters wie folgt hergeleitet:

$$H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G^{\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } .$$

Durch  Fourierrücktransformation  erhält man die dazugehörige Impulsantwort:

$$h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(T_{\rm D} - t).$$

Diese beiden Funktionen lassen sich wie folgt interpretieren:

• Das  Matched-Filter  ist durch den Term  $G^{\star}(f)$  an das Spektrum des aufzufindenden Impulses  $g(t)$  angepasst – daher sein Name (englisch: to match ≡ anpassen).
• Die  Konstante  $K_{\rm MF}$  ist aus Dimensionsgründen notwendig.
• Ist  $g(t)$  ein Spannungsimpuls, so hat diese Konstante die Einheit „Hz/V”.  Der Frequenzgang ist somit dimensionslos.
• Die  Impulsantwort  $h_{\rm MF}(t)$  ergibt sich aus dem Nutzsignal  $g(t)$  durch Spiegelung   ⇒   aus $g(t)$ wird $g(–t)$     sowie einer Verschiebung um  $T_{\rm D}$  nach rechts.
• Der  früheste Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D}$  folgt für realisierbare Systeme aus der Bedingung  $h_{\rm MF}(t < 0)\equiv 0$   $($„Kausalität”,  siehe Buch Lineare zeitinvariante Systeme$)$.
• Der  Nutzanteil  $d_{\rm S} (t)$  des Filterausgangssignals ist formgleich mit der  Energie-AKF   $\varphi^{^{\bullet} }_{g} (t )$  und gegenüber dieser um  $T_{\rm D}$  verschoben. Es gilt:

$$d_{\rm S} (t) = g(t) * h_{\rm MF} (t) = K_{\rm MF} \cdot g(t) * g(T_{\rm D} - t) = K_{\rm MF} \cdot \varphi^{^{\bullet} }_{g} (t - T_{\rm D} ).$$

$\text{Bitte beachten Sie:}$  Bei einem energiebegrenzten Signal  $g(t)$  kann man nur die  Energie–AKF  angeben:

$$\varphi^{^{\bullet} }_g (\tau ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {g(t) \cdot g(t + \tau )\,{\rm{d} }t} .$$

Gegenüber der AKF-Definition eines leistungsbegrenzten Signals  $x(t)$, nämlich

$$\varphi _x (\tau ) = \mathop {\lim }_{T_{\rm M} \to \infty } \frac{1}{ {T_{\rm M} } }\int_{ - T_{\rm M} /2}^{+T_{\rm M} /2} {x(t) \cdot x(t + \tau )\hspace{0.1cm}\,{\rm{d} }t} ,$$

wird bei der Berechnung der Energie-AKF auf die Division durch die Messdauer  $T_{\rm M}$  sowie auf den Grenzübergang  $T_{\rm M} → ∞$  verzichtet.

$\text{Beispiel 2:}$  Wir gehen davon aus, dass der Rechteckimpuls zwischen  $\rm 2\hspace{0.08cm}ms$  und  $\rm 2.5\hspace{0.08cm}ms$  liegt und der Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D} =\rm 2\hspace{0.08cm}ms$  gewünscht wird.

Unter diesen Voraussetzungen gilt:

• Die Matched–Filter–Impulsantwort  $h_{\rm MF}(t)$  muss im Bereich von  $t_1 (= 4 - 2.5) =\rm 1.5\hspace{0.08cm}ms$  bis  $t_2 (= 4 - 2) =\rm 2\hspace{0.08cm}ms$  konstant sein.
• Für  $t < t_1$  sowie für  $t > t_2$  darf sie keine Anteile besitzen.
• Der Betragsfrequenzgang  $\vert H_{\rm MF}(f)\vert$  ist hier  $\rm si$–förmig.
• Die Höhe der Impulsantwort  $h_{\rm MF}(t)$  spielt für das S/N–Verhältnis keine Rolle, da dieses unabhängig von  $K_{\rm MF}$  ist.

Verallgemeinertes Matched-Filter für den Fall farbiger Störungen

Bei den Herleitungen dieses Abschnittes wurde bisher stets von Weißem Rauschen ausgegangen.  Nun soll die folgende Frage geklärt werden:

Wie ist das Empfangsfilter  $H(f) = H_{\rm MF}(f)$  bei farbiger Störung  $n(t)$  zu gestalten, damit das Signal zu Rauschleistungsverhältnis maximal wird?

$\text{Zur Erläuterung einiger Begrifflichkeiten:}$  Der Begriff „Störung” ist etwas allgemeiner als „Rauschen”.

• Vielmehr ist Rauschen eine Teilmenge aller Störungen, zu denen zum Beispiel auch das Nebensprechen von benachbarten Leitungen zählt.
• Wir sprechen nur dann von (weißem) Rauschen  $n(t)$, wenn das Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_n(f)$  für alle Frequenzen gleich ist.
• Ist dies nicht erfüllt, so bezeichnen wir  $n(t)$  als farbige Störung.

Die obere Grafik zeigt das Blockschaltbild zur Herleitung des Matched–Filters  $H_{\rm MF}(f)$  bei farbiger Störung  $n(t)$, gekennzeichnet durch das Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_n(f) ≠\text{ const}$.  Alle weiteren bisher für diesen Abschnitt genannten Voraussetzungen gelten weiterhin.

Zum Matched-Filter bei farbiger Störung

Zum modifizierten Modell gemäß der unteren Grafik ist anzumerken:

• Das farbige Störsignal  $n(t)$  mit dem Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_n(f)$  kann man – zumindest gedanklich – durch eine „weiße” Rauschquelle  $n_{\rm WR}(t)$  mit der konstanten (zweiseitigen) Rauschleistungsdichte  $N_0/2$  und ein Formfilter mit dem Frequenzgang  $H_{\rm N}(f)$  modellieren:

$${\it{\Phi} }_n \left( f \right) = { {N_{\rm 0} } }/{\rm 2} \cdot \left| {H_{\rm N} \left( f \right)} \right|^{\rm 2} .$$

• Da Realisierungsaspekte hier nicht betrachtet werden, wird  $H_{\rm N}(f)$  (stark vereinfachend) als reell angenommen.  Der Phasengang von  $H_{\rm N}(f)$  spielt für das Folgende keine Rolle.  In dieser Darstellung ist zudem das Formfilter  $H_{\rm N}(f)$  auf die rechte Seite der Störaddition verschoben.  Um ein auch bezüglich des Nutzsignals  $d_{\rm S}(t)$  äquivalentes Modell zu erhalten, wird das Formfilter im Nutzsignalzweig durch das inverse Filter  $H_{\rm N}(f)^{–1}$  kompensiert.

Anhand dieses modifizierten Modells wird nun das Matched–Filter für den Fall farbiger Störungen hergeleitet.  Besitzt  $H_{\rm N}(f)$  keine Nullstelle, was für das Folgende vorausgesetzt werden soll, so ist diese Anordnungen mit dem obigen Blockschaltbild identisch.

An der Störadditionsstelle liegt nun weißes Rauschen  $n_{\rm WR}(t)$  an.  Die Herleitung der  Matched–Filter–Optimierung bei weißem Rauschen  lässt sich in einfacher Weise auf das aktuelle Problem anpassen, wenn man Folgendes berücksichtigt:

• Anstelle des tatsächlichen Nutzsignals  $g(t)$  ist das Signal  $g_{\rm WR}(t)$  vor der Störaddition zu berücksichtigen.
• Die dazugehörige Spektralfunktion lautet:   $G_{\rm WR}(f) = G(f)/H_{\rm N}(f)$.
• Anstelle von  $H_{\rm MF}(f)$  ist nun der resultierende Frequenzgang  ${H_{\rm MF} }' (f) = H_{\rm N}(f) · H_{\rm MF}$  rechts von der Störadditionsstelle einzusetzen.

$\text{Fazit:}$

(1)   Für das  Matched-Filter bei farbigen Störungen  ergibt sich:

$${H_{\rm MF} }\hspace{0.01cm}' (f) = H_{\rm N} (f) \cdot H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot G_{\rm WR} ^ {\star} (f) \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm MF} (f) = K_{\rm MF} \cdot \frac{ {G^{\star} (f)} }{ {\left\vert {H_{\rm N} (f)} \right\vert^2 } } \cdot {\rm{e} }^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_{\rm D} } .$$

(2)   Das  Signal-zu-Störleistungsverhältnis  vor dem Entscheider ist somit maximal:

$$\rho _{d,\ \max } ( {T_{\rm D} } ) = \frac{1}{ {N_0 /2} }\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left\vert{G_{\rm WR} (f)} \right\vert^2 }\, {\rm{d} }f = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{\left \vert G(f) \right\vert^2 }{ {\it{\Phi _n {\rm (f)} } } } \,{\rm{d} }f.$$

(3)   Der Fall „Weißes Rauschen” ist in dieser allgemeineren Gleichung für  ${\it Φ}_n(f) = N_0/2$  mitenthalten.

(4)   Alle hier angegebenen Gleichungen führen bei farbiger Störung allerdings nur dann zu sinnvollen, auch für die Praxis verwertbaren Ergebnissen, wenn das Energiespektrum  $\vert G(f)\vert ^2$  des Nutzsignals asymptotisch schneller abklingt als das Störleistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_n(f)$.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 5.7: Rechteck-Matched-Filter

Aufgabe 5.7Z: Matched-Filter - alles gaußisch

Aufgabe 5.8: Matched-Filter für farbige Störung

Aufgabe 5.8Z: Matched-Filter bei Rechteck-LDS