Theory of Stochastic Signals/Power-Spectral Density

1. Theory of Stochastic Signals
2. Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen
3. Power-Spectral Density

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Theorem von Wiener-Chintchine

Im Weiteren beschränken wir uns auf ergodische Prozesse. Wie im letzten Kapitel gezeigt wurde, gelten dann die folgenden Aussagen:

• Jede einzelne Musterfunktion $x_i(t)$ ist repräsentativ für den gesamten Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$. Alle Zeitmittelwerte sind somit identisch mit den dazugehörigen Scharmittelwerten.
• Die Autokorrelationsfunktion, die allgemein von den beiden Zeitparametern $t_1$ und $t_2$ beeinflusst wird, hängt nur noch von der Zeitdifferenz $τ = t_2 – t_1$ ab:

$$\varphi_x(t_1,t_2)={\rm E}[x(t_{\rm 1})\cdot x(t_{\rm 2})] = \varphi_x(\tau)= \int^{+\infty}_{-\infty}x(t)\cdot x(t+\tau)\,{\rm d}t.$$

Diese Funktion liefert quantitative Aussagen über die (linearen) statistischen Bindungen innerhalb des ergodischen Prozesses $\{x_i(t)\}$ im Zeitbereich. Die äquivalente Beschreibungsgröße im Frequenzbereich ist die spektrale Leistungsdichte, häufig auch als „Leistungsdichtespektrum” bezeichnet.

$\text{Definition:}$  Das Leistungsdichtespektrum (LDS) eines ergodischen Zufallsprozesses $\{x_i(t)\}$ ist die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion (AKF): $${\it \Phi}_x(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_x(\tau) \cdot {\rm e}^{- {\rm j\pi} f \tau} {\rm d} \tau. $$ Diesen Funktionalzusammenhang nennt man das Theorem von Wiener und Chintchine.

Ebenso kann die AKF als Fourierrücktransformierte des LDS berechnet werden (siehe Seite Fourierrücktransformation im Buch „Signaldarstellung”):

$$ \varphi_x(\tau)=\int^{+\infty}_{-\infty} {\it \Phi}_x \cdot {\rm e}^{{\rm j\pi} f \tau} {\rm d} f.$$

Die beiden Gleichungen sind nur dann direkt anwendbar, wenn der Zufallsprozess weder einen Gleichanteil noch periodische Anteile beinhaltet. Andernfalls muss man nach den Angaben entsprechend der Seite Spektrale Leistungsdichte mit Gleichsignalkomponente vorgehen.

Physikalische Interpretation und Messung

Das folgende Bild zeigt eine Anordnung zur (näherungsweisen) messtechnischen Bestimmung des Leistungsdichtespektrums ${\it \Phi}_x(f)$.

Zur Messung des Leistungsdichtespektrums

Hierzu ist folgendes anzumerken:

• Das Zufallssignal $x(t)$ wird auf ein (möglichst) rechteckförmiges und (möglichst) schmalbandiges Filter mit Mittenfrequenz $f$ und Bandbreite $Δf$ gegeben, wobei $Δf$ entsprechend der gewünschten Frequenzauflösung hinreichend klein gewählt werden muss.
• Das entsprechende Ausgangssignal $x_f(t)$ wird quadriert und anschließend der Mittelwert über eine hinreichend lange Messdauer $T_{\rm M}$ gebildet. Damit erhält man die Leistung von $x_f(t)$ bzw. die Leistungsanteile von $x(t)$ im Spektralbereich von $f – Δf/2$ bis $f + Δf/2$:

$$P_{xf} =\overline{x_f(t)^2}=\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f(t)^2 \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$

• Die Division durch $Δf$ führt von der spektralen Leistung zur spektralen Leistungsdichte:

$${{\it \Phi}_{x \rm +}}(f) =\frac{P_{xf}}{{\rm \Delta} f} \hspace {0.5cm} {\rm bzw.} \hspace {0.5cm} {\it \Phi}_{x}(f) = \frac{P_{xf}}{{\rm 2 \cdot \Delta} f}.$$

Hierbei bezeichnet ${\it \Phi}_{x+}(f) = 2 · {\it \Phi}_x(f)$ das einseitige, nur für positive Frequenzen definierte LDS. Für negative Frequenzen ist ${\it \Phi}_{x+}(f) = 0$. Im Gegensatz dazu gilt für das üblicherweise verwendete zweiseitige LDS: ${\it \Phi}_x(–f) = {\it \Phi}_x(f)$.

• Während die Leistung $P_{xf}$ mit kleiner werdender Bandbreite $Δf$ gegen Null tendiert, bleibt die spektrale Leistungsdichte ab einem hinreichend kleinen Wert von $Δf$ nahezu konstant.
• Für die exakte Bestimmung von ${\it \Phi}_x(f)$ sind zwei Grenzübergänge notwendig:

$${{\it \Phi}_x(f)} = \lim_{{\rm \Delta}f\to 0} \hspace{0.2cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{{\rm 2 \cdot \Delta}f\cdot T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}}_{0}x_f^2(t) \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$$

$\text{Fazit:}$  Aus dieser physikalischen Interpretation folgt weiter, dass das LDS stets reell ist und nie negativ werden kann. Die gesamte Signalleistung von $x(t)$ erhält man dann durch Integration über alle Spektralanteile:

$$P_x = \int^{\infty}_{0}{\it \Phi}_{x \rm +}(f) \hspace{0.1cm}{\rm d} f = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f)\hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$

Reziprozitätsgesetz von AKF-Zeitdauer und LDS-Bandbreite

Alle im Buch „Signaldarstellung” für deterministische Signale hergeleiteten Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation können auch auf die Autokorrelationsfunktion (AKF) und das Leistungsdichtespektrum (LDS) eines Zufallsprozesses angewendet werden. Aufgrund der spezifischen Eigenschaften von AKF (stets reell und gerade) und LDS (stets reell, gerade und nicht-negativ) liefern allerdings nicht alle Gesetze sinnvolle Ergebnisse.

Zum Reziprozitätsgesetz von AKF und LDS

Wir betrachten nun wie im Abschnitt Interpretation der Autokorrelationsfunktion zwei unterschiedliche ergodische Zufallsprozesse $\{x_i(t)\}$ und $\{y_i(t)\}$ anhand

• der beiden Mustersignale $x(t)$ bzw. $y(t)$   ⇒   obere Skizze,
• der beiden Autokorrelationsfunktionen $φ_x(τ)$ bzw. $φ_y(τ)$   ⇒   mittlere Skizze,
• der beiden Leistungsdichtespektren ${\it \Phi}_x(f)$ bzw. ${\it \Phi}_y(f)$   ⇒   untere Skizze.

Anhand dieser Grafiken sind folgende Aussagen möglich:

• Die Flächen unter den LDS-Kurven sind gleich   ⇒   die Prozesse besitzen gleiche Leistung:

$${\varphi_x({\rm 0})}\hspace{0.05cm} =\hspace{0.05cm} \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm}{\varphi_y({\rm 0})} = \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_y(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f .$$

• Das aus der klassischen (deterministischen) Systemtheorie bekannte Reziprozitätsgesetz von Zeitdauer und Bandbreite gilt hier ebenfalls: Eine schmale Autokorrelationsfunktion entspricht einem breiten Leistungsdichtespektrum und umgekehrt.
• Als Beschreibungsgröße verwenden wir hier die äquivalente LDS-Bandbreite $∇f$ (man spricht Nabla-f), ähnlich definiert wie die äquivalente AKF-Dauer $∇τ$ im Kapitel Interpretation der Autokorrelationsfunktion:

$${{\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{{\it \Phi}_x(f = {\rm 0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{{\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f, \hspace{0.5cm}{ {\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{\varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau.$$

• Mit diesen Definitionen gilt der folgende grundlegende Zusammenhang:

$${{\rm \nabla} \tau_x} \cdot {{\rm \nabla} f_x} = 1\hspace{1cm}{\rm bzw.}\hspace{1cm} {{\rm \nabla} \tau_y} \cdot {{\rm \nabla} f_y} = 1.$$

$\text{Beispiel 1:}$  Wir gehen wieder von der obigen Grafik aus:

• Die Kenngrößen des höherfrequenten Signals $x(t)$ sind $∇τ_x = 0.33\hspace{0.05cm} \rm µs$ und $∇f_x = 3 \hspace{0.05cm} \rm MHz$.
• Die äquivalente AKF-Dauer des Signals $y(t)$ ist dreimal so groß: $∇τ_y = 1 \hspace{0.05cm} \rm µs$.
• Die äquivalente LDS-Bandbreite beträgt somit nur mehr $∇f_y = ∇f_x/3 = 1 \hspace{0.05cm} \rm MHz$.

$\text{Allgemein gilt:}$  Das Produkt aus äquivalenter AKF-Dauer ${ {\rm \nabla} \tau_x}$ und äquivalenter LDS-Bandbreite $ { {\rm \nabla} f_x}$ ist gleich $1$:

$${ {\rm \nabla} \tau_x} \cdot { {\rm \nabla} f_x} = 1.$$

$\text{Beweis:}$  Entsprechend den obigen Definitionen gilt:

$${ {\rm \nabla} \tau_x} = \frac {\rm 1}{ \varphi_x(\tau = \rm 0)} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{ \varphi_x(\tau )} \hspace{0.1cm} {\rm d} \tau = \frac { {\it \Phi}_x(f = {\rm 0)} }{ \varphi_x(\tau = \rm 0)},$$

$${ {\rm \nabla} f_x} = \frac {1}{ {\it \Phi}_x(f = {\rm0})} \cdot \int^{+\infty}_{-\infty}{ {\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.1cm} {\rm d} f = \frac {\varphi_x(\tau = {\rm 0)} }{ {\it \Phi}_x(f = \rm 0)}.$$

$\text{Beispiel 2:}$  Ein Grenzfall des Reziprozitätsgesetzes stellt das so genannte Weiße Rauschen dar:

• Dieses beinhaltet alle Spektralanteile (bis ins Unendliche).
• Die äquivalente LDS-Bandbreite $∇f$ ist unendlich groß.

Das hier angegebene Gesetz besagt, dass damit für die äquivalente AKF-Dauer $∇τ = 0$ gelten muss   ⇒   das weiße Rauschen besitzt eine diracförmige AKF.

Mehr zu dieser Thematik finden Sie im dreiteiligen Lernvideo Der AWGN-Kanal, insbesondere im zweiten Teil.

Leistungsdichtespektrum mit Gleichsignalkomponente

Wir gehen zunächst von einem gleichsignalfreien Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$ aus. Weiterhin setzen wir voraus, dass der Prozess auch keine periodischen Anteile beinhaltet. Dann gilt:

• Die Autokorrelationsfunktion (AKF) $φ_x(τ)$ verschwindet für $τ → ∞$.
• Das Leistungsdichtespektrum (LDS) ${\it \Phi}_x(f)$ – berechenbar als die Fouriertransformierte von $φ_x(τ)$ – ist sowohl wert– als auch zeitkontinuierlich und weist keine diskreten Anteile auf.

Wir betrachten nun einen zweiten Zufallsprozess $\{y_i(t)\}$, der sich vom Prozess $\{x_i(t)\}$ lediglich durch eine zusätzliche Gleichsignalkomponente $m_y$ unterscheidet:

$$\left\{ y_i (t) \right\} = \left\{ x_i (t) + m_y \right\}.$$

Die statistischen Beschreibungsgrößen des mittelwertbehafteten Zufallsprozesses $\{y_i(t)\}$ weisen dann folgende Eigenschaften auf:

• Der Grenzwert der Autokorrelationsfunktion für $τ → ∞$ ist nun nicht mehr Null, sondern $m_y^2$. Im gesamten $τ$-Bereich von $–∞$ bis $+∞$ ist die AKF $φ_y(τ)$ um $m_y^2$ größer als $φ_x(τ)$:

$${\varphi_y ( \tau)} = {\varphi_x ( \tau)} + m_y^2 . $$

• Nach den elementaren Gesetzen der Fouriertransformation führt der konstante AKF-Beitrag im Leistungsdichtespektrum zu einer Diracfunktion $δ(f)$ mit dem Gewicht $m_y^2$:

$${{\it \Phi}_y ( f)} = {\Phi_x ( f)} + m_y^2 \cdot \delta (f). $$

Nähere Informationen zur Diracfunktion finden Sie im Kapitel Gleichsignal - Grenzfall_eines periodischen Signals des Buches „Signaldarstellung”. Weiterhin möchten wir Sie auf das Lernvideo Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion hinweisen.

Numerische LDS-Ermittlung

Autokorrelationsfunktion und Leistungsdichtespektrum sind über die Fouriertransformation streng miteinander verknüpft. Dieser Zusammenhang gilt auch bei zeitdiskreter AKF-Darstellung, also für

$${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} = \varphi_x ( \tau ) \cdot \sum_{k= - \infty}^{\infty} T_{\rm A} \cdot \delta ( \tau - k \cdot T_{\rm A}).$$

Der Übergang vom Zeit- in den Spektralbereich kann mit folgenden Schritten hergeleitet werden:

• Der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte ist durch die absolute Bandbreite $B_x$ (maximal auftretende Frequenz innerhalb des Prozesses) über das Abtasttheorem festgelegt:

$$T_{\rm A}\le\frac{1}{2B_x}.$$

• Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF ergibt ein mit ${\rm 1}/T_{\rm A}$ periodisches LDS:

$${\rm A} \{ \varphi_x ( \tau ) \} \hspace{0.3cm} \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \hspace{0.3cm} {\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = \sum_{\mu = - \infty}^{\infty} {{\it \Phi}_x} ( f - \frac {\mu}{T_{\rm A}}).$$

• Da sowohl $φ_x(τ)$ als auch ${\it \Phi}_x(f)$ gerade und reelle Funktionen sind, gilt der Zusammenhang:

$${\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} \varphi_x ( k T_{\rm A}) \cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} k T_{\rm A}).$$

• Das Leistungsdichtespektrum (LDS) des zeitkontinuierlichen Prozesses erhält man aus ${\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \}$ durch Bandbegrenzung auf den Frequenzbereich $|f| ≤ 1/(2T_{\rm A})$.
• Im Zeitbereich bedeutet diese Operation eine Interpolation der einzelnen AKF-Abtastwerte mit der si-Funktion, wobei ${\rm si}(x)$ für $\sin(x)/x$ steht.

:  Eine gaußförmige AKF $φ_x(τ)$ wird im Abstand $T_{\rm A}$ abgetastet, wobei das Abtasttheorem erfüllt ist:

• Die Fouriertransformierte der zeitdiskreten AKF ${\rm A} \{φ_x(τ) \}$ wird mit ${\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \}$ bezeichnet.
• Dieses ist periodisch mit ${\rm 1}/T_{\rm A}$ und dementsprechend unendlich weit ausgedehnt.
• In der Grafik ist ${\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \}$ als roter Kurvenzug zu erkennen.

Zeitdiskrete AKF und periodisch fortgesetztes LDS

Das LDS ${\it \Phi}_x(f)$ des zeitkontinuierlichen Prozesses $\{x_i(t)\}$ erhält man durch Bandbegrenzung auf den im Bild blau hinterlegten Frequenzbereich $|f · T_{\rm A}| ≤ 0.5$.

Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung

Für die nachfolgende Analyse gehen wir von folgenden Annahmen aus:

• Die zeitdiskrete AKF $φ_x(k · T_{\rm A})$ wurde aus $N$ Abtastwerten numerisch ermittelt. Wie bereits auf der Seite Genauigkeit der numerischen AKF-Berechnung gezeigt wurde, sind diese Werte fehlerhaft und die Fehler korreliert, wenn $N$ nicht hinreichend groß gewählt wurde.
• Zur Berechnung des periodischen Leistungsdichtespektrums (LDS) verwenden wir nur die AKF-Werte $φ_x(0)$, ... , $φ_x(K · T_{\rm A})$:

$${\rm P} \{{{\it \Phi}_x} ( f) \} = T_{\rm A} \cdot \varphi_x ( k = 0) +2 T_{\rm A} \cdot \sum_{k = 1}^{K} \varphi_x ( k T_{\rm A})\cdot {\rm cos}(2{\rm \pi} k T_{\rm A}).$$

Die Genauigkeit der LDS-Berechnung wird im starken Maße durch den Parameter $K$ bestimmt:

• Ist $K$ zu klein gewählt, so werden die AKF-Werte $φ_x(k · T_{\rm A})$ mit $k > K$ nicht berücksichtigt.
• Ist $K$ zu groß gewählt, so werden auch solche AKF-Werte berücksichtigt, die eigentlich Null sein sollten und nur durch die numerische AKF-Berechnung endliche Werte besitzen.
• Diese Werte sind allerdings – bedingt durch ein zu kleines $N$ bei der AKF–Ermittlung – nur Fehler, und beinträchtigen die LDS-Berechnung mehr als dass sie einen brauchbaren Beitrag zum Ergebnis liefern.

:  Wir betrachten hier einen mittelwertfreien Prozess mit statistisch unabhängigen Abtastwerten, so dass nur der AKF–Wert $φ_x(0) = σ_x^2$ von $0$ verschieden ist. Ermittelt man die AKF numerisch aus lediglich $N = 1000$ Abtastwerten, so erhält man auch für $k ≠ 0$ endliche AKF–Werte.

Genauigkeit der numerischen LDS-Berechnung

• Das obere Bild zeigt, dass diese fehlerhaften Werte bis zu $6\%$ des Maximalwertes betragen können.
• Unten ist das numerisch ermittelte LDS dargestellt. Die gelbe Kurve zeigt den theoretischen Verlauf, der im Bereich $|f · T_{\rm A}| ≤ 0.5$ konstant sein sollte.
• Die grüne und die violette Kurve verdeutlichen, wie durch $K = 3$ bzw. $K = 10$ das Ergebnis gegenüber $K = 0$ verfälscht wird.

In diesem Fall (statistisch unabhängige Zufallsgrößen) wächst der Fehler monoton mit steigendem $K$. Bei einer Zufallsgröße mit statistischen Bindungen gibt es dagegen jeweils einen optimalen Wert für $K$.

• Wird dieser zu klein gewählt, so werden signifikante Bindungen nicht berücksichtigt.
• Ein zu großer Wert führt dagegen zu Oszillationen, die nur auf fehlerhafte AKF–Werte zurückzuführen sind.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.12: LDS eines Binärsignals

Aufgabe 4.12Z: Weißes Rauschen

Aufgabe 4.13: Gaußförmige AKF

Aufgabe 4.13Z: AMI-Code