Aufgabe 2.3: QAM–Signalraumbelegung

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Gegebene QAM-Signalraumbelegung

Bei  $\rm ADSL$  (Asymmetric Digital Subscriber Line) sind verschiedene Übertragungsverfahren anwendbar. Sowohl bei  $\rm QAM$  als auch bei  $\rm CAP$  und  $\rm DMT$  findet dabei eine Signalraumzuordnung statt.

Die Grafik zeigt den ersten Quadranten der betrachteten Signalraumzuordnung. Auf die vier farblich markierten Punkte wird in der Aufgabe Bezug genommen. Anzumerken ist:

  • Die Inphase– und Quadraturkoeffizienten  $(a_{\rm I}, \ a_{\rm Q})$  können hierbei jeweils die Werte  $1, \ 3$,  ... ,  $15$  annehmen. In anderen Quadranten sind auch die negativen Werte  $-1$,  $-3$, ... , $-15$  möglich.
  • Jeweils  $b$  Bit werden zu einem Signalraumpunkt zusammengefasst, gekennzeichnet durch die Koordinaten  $a_{\rm I}$  und  $a_{\rm Q}$.
  • Wird eine Bitfolge  $(q_{b–1}, \ q_{b–2}$, ... , $q_{0})$  übertragen, so kennzeichnen die  $\rm MSB$  (Most Significant Bits)  $q_{b–1}$  und  $q_{b–2}$  die Vorzeichen von  $a_{\rm I}$  und  $a_{\rm Q}$, und damit auch den Quadranten.
  • Ist  $q_{b–1} = 0$, so ist  $a_{\rm I}$  positiv. Dagegen weist  $q_{b–1} = 1$  auf ein negatives  $a_{\rm I}$  hin. Der gleiche Zusammenhang besteht zwischen  $q_{b–2}$  und  $a_{\rm Q}$.
  • Der Inphase–Anteil  $a_{\rm I}$  ergibt sich als Dezimalwert der Binärzahl  $(q_{b–1}, \ q_{b–3}$, ... , $q_{1}, \ 1)$. Negative Zahlen werden durch das Zweierkomplement dargestellt.
  • Der Quadratur–Anteil  $a_{\rm Q}$  ergibt sich als Dezimalwert der Binärzahl  $(q_{b–2}, \ q_{b–4}$, ... , $q_{0}, \ 1)$. Negative Zahlen werden auch hier durch das Zweierkomplement dargestellt.


Ziel dieser Aufgabe ist es, gegebene Bitfolgen dem richtigen Signalraumpunkt zuzuordnen. Die umgekehrte Zuordnung wird ebenfalls demonstriert.





Hinweis:




Fragebogen

1

Um welche Konstellations handelt es sich beim betrachteten Beispiel?

8–QAM,
16–QAM,
64–QAM,
256–QAM.

2

Wie viele Bit werden zu einem Signalraumpunkt zusammengefasst?

$b \ = \ $

3

Welche MSB–Werte gelten für den in der Grafik dargesellten Quadranten?

$q_{7} = \boldsymbol{0}, q_{6} = \boldsymbol{0}\,$
$q_{7} = \boldsymbol{1}, q_{6} = \boldsymbol{0},$
$q_{7} = \boldsymbol{1}, q_{6} = \boldsymbol{1},$
$q_{7} = \boldsymbol{0}, q_{6} = \boldsymbol{1}.$

4

Wie lauten die Koordinaten der Bitfolge  $\boldsymbol{1001\hspace{0.05cm}0011}$?

$ a_{\rm I} \ = \ $

$ a_{\rm Q} \ = \ $

5

Welche Bitfolge ist dem roten Punkt zugeordnet?

$\boldsymbol{0000\hspace{0.05cm}1011,}$
$\boldsymbol{0001\hspace{0.05cm}0011,}$
$\boldsymbol{0001\hspace{0.05cm}0110,}$
$\boldsymbol{0010\hspace{0.05cm}1110.}$

6

Welche Bitfolge ist dem blauen Punkt zugeordnet?

$\boldsymbol{0000\hspace{0.05cm}1011,}$
$\boldsymbol{0001\hspace{0.05cm}0011,}$
$\boldsymbol{0001\hspace{0.05cm}0110,}$
$\boldsymbol{0010\hspace{0.05cm}1110.}$

7

Liegt hier eine Gray–Codierung vor?

Nein.
Ja.

8

Welche Aussagen gelten hinsichtlich Gray–Codierung und Bitfehlerrate?

Gray–Codierung verkleinert die Bitfehlerrate.
Gray–Codierung vergrößert die Bitfehlerrate.
Gray–Codierung hat keinen Einfluss auf die Bitfehlerrate.


Musterlösung

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 4:

  • Der erste Quadrant umfasst $8 \cdot 8\ \underline{ = 64}$ mögliche Punkte.
  • Damit handelt es sich um eine $4 \cdot 64 = 256$–QAM.


(2)  Es muss $2^b = 256$ gelten. Daraus folgt: $\underline{b = 8}$.


(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

  • Die $\underline{ {\rm MSB} \ \boldsymbol{00}}$ zeigen an, dass $a_{\rm I}$ und $a_{\rm Q}$ positiv sind und markieren somit den hier betrachteten ersten Quadranten.
  • Entsprechend gilt:     $\boldsymbol{10}$   ⇒   2. Quadrant,     $\boldsymbol{11}$  ⇒   3. Quadrant,     $\boldsymbol{01}$   ⇒   4. Quadrant.


(4)  Entsprechend der Angabe ist der Inphasenanteil negativ $(q_{7} = \boldsymbol{1})$.

  • Aus $\boldsymbol{10011}_{\rm binär} = 19_{\rm dez}$ ergibt sich das Zweierkomplement $19 - 32= -13$.
  • Der Quadraturanteil ergibt sich aus $\boldsymbol{01011}_{\rm binär} = 11:$
$$\underline{a_{\rm I} = -13,\hspace{0.2cm}a_{\rm Q} = +11} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

  • Entsprechend der Angabe muss gelten:
$$ \ \ \ \ \ a_{\rm I} = 3\text{:} \ \ \ \ \ q_{5} = \boldsymbol{0}, \ q_{3} = \boldsymbol{0}, \ q_{1} = \boldsymbol{1} \Rightarrow \boldsymbol{0011}_{\rm binär} = 3,$$
$$ \ \ \ \ \ a_{\rm Q} = 13\text{:} \ \ \ \ \ q_{4} = \boldsymbol{1}, q_{2} = \boldsymbol{1}, q_{0} = \boldsymbol{0} \Rightarrow \boldsymbol{1101}_{\rm binär} = 13.$$

Daraus folgt insgesamt:  $\langle \hspace{0.05cm} q_{7}, \ q_{6}, \ q_{5}$, ... , $q_{1}, \ q_{0} \hspace{0.05cm} \rangle = \boldsymbol{0001\hspace{0.05cm}0110}.$


(6)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Gegenüber der letzten Aufgabe gibt es keine Änderung bezüglich $a_{\rm I}$.
  • Dagegen ist nun
$$a_{\rm Q} = 11\text{:} q_{4} = \boldsymbol{1}, q_{2} = \boldsymbol{0}, q_{0} = \boldsymbol{1} \Rightarrow \boldsymbol{1011}_{\rm binär} = 11.$$

Daraus folgt insgesamt:  $\langle \hspace{0.05cm}q_{7}, \ q_{6}, \ q_{5}$, ... , $q_{1}, \ q_{0} \hspace{0.05cm} \rangle = \boldsymbol{0001\hspace{0.05cm}0010}.$


(7)  Es liegt keine Gray–Codierung vor, da sich die beiden benachbarten Signalraumpunkte „rot” und „blau” um mehr als ein Bit unterscheiden.


(8)  Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 1:

  • Bei Gray–Codierung führt jeder Symbolfehler nur zu einem einzigen Bitfehler.
  • Für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit erhält man $p_{\rm B} = p_{\rm S}/b$, da die Anzahl der übertragenen Bits um den Faktor $b$ größer ist als die Anzahl der QAM–Symbole.
  • Bei anderer Codierung wird dieser Minimalwert nicht erreicht.


$\rm256–QAM$: Vollständige Belegung des ersten Quadranten

Die abschließende Grafik zeigt alle Signalraumpunkte des ersten Quadranten, wobei die Punkte mit den Dezimalwerten der Binärfolgen beschriftet sind.

Die dünn eingezeichneten Linien geben eine zweite Vorgehensweise zur Bestimmung der Signalraumbelegung an, die im Theorieteil erläutert wird.